证明 8.1 节层次分析模型中定义的[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶一致阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]有下列性质：(1) [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的秩为 1 ,惟一非零特征根为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex];(2)[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的任一列向量都是对应于[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]的特征向量.

2022-06-08

证明 8.1 节层次分析模型中定义的[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶一致阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]有下列性质：(1) [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的秩为 1 ,惟一非零特征根为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex];(2)[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的任一列向量都是对应于[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]的特征向量.

答案：

(1) 由 8.1 节 (4) 式得,对任意 2 列 [tex=1.214x1.214]RsDuJe0gfH4LhyvenBTDjg==[/tex], 有[tex=10.0x2.429]/OHUvDIhLFeAd8L/2DpqCfDCBDJ4AweQRW+KEujI/ehO/PFLhxjsM2VYXWZK9xjo6fJzckmhE8NiZ3gtX6UqcA==[/tex], 即[tex=0.357x1.0]O88k7AtkDgTC9kv/8dY0lg==[/tex]列与 [tex=0.429x1.214]rmIPPJrP+tFN2kAYPlU/4g==[/tex]列对应分量成比例[tex=7.286x1.357]nbElc1vMT3nbCv8QLhfAESf1aEZzp9z97VdWAMOWwqo=[/tex], 故[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]秩为[tex=0.5x1.0]lRXkI8in4H7yCI9Na2jVfQ==[/tex].因为任意矩阵的特征根之和等于其对角元素之和,[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的对角元素之和为[tex=3.786x1.357]q9amM9cOM6d+dbRdpTtdZfPvPzb3fKXFGkSQyFbF7Ts=[/tex], 而秩为 1 的阵[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]只有一个非零的特征根,故这个根是[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex].(2) 特征向量[tex=7.0x1.571]MOZ7msbP99pJ1y4wvNdVue6i0zsZ/UaUXjf9fcD+Fndx5f3sFPZJLEP0x7o6TVjqX4euqzy3f3/8OSOb1VWKUQ==[/tex]满足[tex=12.929x2.857]/CZbk4AfmwdWER32JVyLBzuusPAuWs56TxQSXJjp4ZWARueLVhI3gidhmeozCdSCojddOpqFff43hFnNwO0snQ==[/tex]将[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]的任一列向量[tex=6.286x1.571]zhI71pXaiOiwfpH34dLoUHYF/m9T8HWTjH3GF5Zie9k2dywqvSu7pRif3+tULhF+[/tex]代入,有[tex=18.571x2.857]/CZbk4AfmwdWER32JVyLB7NaXpZyjkM0TCbGej+vzmaby8fiXrafj7XKWLig/wtCyjFMWU5DJojOdIVYB8oxfR4NifXyMb879pFTLPS1hWO21m9LpnBSqx9WZuF4cg1w[/tex],所以它是特征向量.[br][/br]

举一反三

内容

0
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶对称阵，[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶可逆矩阵. 已知 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 维列向量 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的对应于特征值 [tex=0.643x1.0]+D9NhKovEP8INGz+KZnr1A==[/tex] 的特征向量，求矩阵 [tex=4.5x1.714]JQ9TFSUSe+UZ9hiCixUJL4KvVHXifqmC8svsb4HD6RZHgWwTmNjtr/4eHALuX3c1[/tex] 对应于特征值 [tex=0.643x1.0]+D9NhKovEP8INGz+KZnr1A==[/tex] 的特征向量.
1
求证: 若 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]个互不相同的特征值, 则 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 的特征多项式和极小多项式相等.
2
能保证 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是正交矩阵的条件是未知类型：{'options': ['[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0将\xa0[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]\xa0维正交列向量变成正交列向量', '对任意的\xa0[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]\xa0维列向量\xa0[tex=7.571x1.5]2tYPing17KWVnPTQNOr1PSUgbNb1WwXtZzKmPqcnzUBbcJ5QZvTK0+eoehCsGe4Ab4KS2oyY+3InY8+Z/gp0Aw==[/tex]', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0保持向量夹角不变', '[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]\xa0的特征值全为 1 或 -1'], 'type': 102}
3
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实矩阵, [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶正定实对称矩阵, 满足 [tex=4.071x1.143]23C06xV+qahUl1T3xcoZnwRQpH8YtXCwkd9Ub4sG38M=[/tex],证明: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 可对角化.
4
设 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实对称矩阵, 若存在 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶实矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex], 使 [tex=4.143x1.286]YCUl/vNcR5SNlwwslg9Jhb5CY//bqvCw+mSVvBQx12Q=[/tex] 是正定阵, 求证: [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为非异阵.