证明：对任意n阶矩阵[tex=4.857x1.429]MmeklMP/j6saWqycN/i3Z3wqMHuQmIjSWcnVpwDa/28sKs+vgCQyhxOwRCKhyh7sjdwGTeaCYmH0lW9izQdVxg==[/tex]为对称据矩阵，[tex=3.071x1.357]EOQ1Rjmvh2eNjKR72INhKGvD/DKi/KRYjyVJEbwB31BEI8bbGlHTf/dugNu8h/fs[/tex]为反对称矩阵.
因为[tex=20.143x1.786]unWwS2P2Re9fRUQx2yBl5HqSbAkvedoSnz/0xPMXY4rW4BvGMiwtfeURsMx72PC2PJbFyxsJihxJmLr9i4mFUgQTjfRUoVnm9AAfYCX7u1ADqfG2HXU6bvHRrdXgyrGgYju7DSe1o8wZeR7ba0F6f7Vb++oub/bdgEKKyYDJO0jtjslppRwYAslHtlA9CytmnoaKpvqWBfPdk6E5Rj8VytSC6VoDt77xyU7Wxgqol9nU3eREVcv6tfsSKGj0vMi6tXT5iLAJ/bEqU5UZqFr3ieYcAkzWfj+QdXEjEf11gho=[/tex]，所以[tex=3.571x1.357]SwHq7TpS1Oc08cmPOem8i78J0DTFQIY21vZ0kROvVMKh57hbplW5r9U07r3AEWy7[/tex]为对称矩阵。因为[tex=20.929x1.786]0idGSV3RW/tbV3escumNdHI8rQoAZYD8/QMryiS2UQj3tf1qAtgu1HK10+ao+8zYwp5FxTnLnU4Yf7wmoPS0CYUhWnRzj+b1UOn8J4vr9kBZyObyxsYazZZHVDOaiMPqWT1CEdkJdQNhzK4JGgy1awsNN3YuiCC9uZBmfkvtnz79j75qBky2ddaEpXBUei8wLJk3aSVcAH5CyI8PRcsuaYOrJ3v0iKJ0WJuOl/WV4sjjeo5TOXSHeIB3jojXqSc2CZCrogG5bTvgBFT09m8HD/CG6c/x2plr56QJZCiQB+Cnhh7Xaihm62S0gnA+Tk4tBpwDPOcu+scs2LlD9oKk+bfneVXif6t4I8DeV+fQnZ8=[/tex]，所以[tex=3.071x1.357]EOQ1Rjmvh2eNjKR72INhKGvD/DKi/KRYjyVJEbwB31BEI8bbGlHTf/dugNu8h/fs[/tex]为反对称矩阵.
举一反三
- 证明: 对任意的 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 阶矩阵 [tex=4.429x1.429]YsxUk3RpCEL54ROD5kt0RGE+zEz4W6tOR7h6dJbpxF6l3VYIFpIKmuckv4Y4Ism3TKVM8I8AHOWubTRwELFaoQ==[/tex] 为对称矩阵, [tex=3.071x1.357]tDksT0Ct08ObcJpLKXG2Dxj5B/aUIEpS+xsbN/D5/O5i7K24EVeR3mM0GLTjhHGp[/tex] 为反对称矩阵.
- 对于任意的n阶矩阵A. 证明：（1）[tex=3.214x1.357]joQM8tQMS8YO6tZYRy07MQ==[/tex]是对称矩阵，[tex=3.286x1.286]SWEHfOr2kxH9ZnfQyup5NQ==[/tex]是反对称矩阵；（2）A可表示为对称矩阵和反对称矩阵之和。
- 对任一[tex=0.643x1.286]kQQPNaSMySIETpfBStVHEw==[/tex]阶矩阵[tex=0.929x1.0]r5Haq7W1lVGBc4dFEM2Zk1042rAqwO2NsSIOA9UOXzQ=[/tex]，证明[tex=3.071x1.357]r5Haq7W1lVGBc4dFEM2Zk+3WKQaamv4L6/8dS4GMfV9TE9dfW4waoB+zYmRtm/v9[/tex]为对称矩阵，而[tex=3.071x1.357]r5Haq7W1lVGBc4dFEM2Zk4h+gygatuuo+Di2WZNUKQfjz1gCoQElSg5SOfypxfN7[/tex]为反称矩阵。
- 证明：对任意的[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶矩阵[tex=0.929x1.0]ysPsVBYgue2sVzMz/Uq3u1vV2cYzwxTxF6V07gp4Vpk=[/tex]，[tex=3.571x1.357]ysPsVBYgue2sVzMz/Uq3uxLhkxSEMeuLoLEe7GhkI8fkJpjVVYYOVoWDKrswsjEJ46KlgAcowZvDTajEkCYC/Q==[/tex]为对称矩阵，而[tex=3.071x1.357]ysPsVBYgue2sVzMz/Uq3u9H5n81dTN4aod4vNaag75tTpZTO1BW8r8NX3kKIF2ooKfRDG+Q0iD6969fBQ+umCg==[/tex]为反称矩阵。
- 设[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]为[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶对称矩阵，[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]为[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]反对称矩阵，证明：(1)[tex=4.286x1.286]oheUYwhZ0URiNEpsN7L7kA==[/tex]为对称矩阵；(2)[tex=4.286x1.286]eisGgj8YxHUmoBnJQGz1JQ==[/tex]为反对称矩阵．
内容
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设A，B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明[tex=2.929x1.286]tRZxGTactfwSEdX5gS6e4Q==[/tex]也是对称矩阵。
- 1
设[tex=2.071x1.214]ubonxV1O3aAAEBZU7hU/Sg==[/tex]为n阶矩阵，且[tex=0.786x1.0]HhF87H60RpWs9HD858V1HQ==[/tex]为对称矩阵.证明[tex=2.929x1.214]uigrEVvvXxiY5SLVs3dsO7FjG/l2VSOWAefjf+no4os=[/tex]也是对称矩阵.
- 2
已知A是一个n阶对称矩阵，B是一个n阶反对称矩阵。（1）问[tex=2.929x1.286]M3XmyN+x5++6m3YfFtg3Pg==[/tex]是否为对称或反对称矩阵？（2）证明：AB+BA是一个反对称矩阵。
- 3
若[tex=0.786x1.286]pi/GsQ3apuRt43V3XQq/tA==[/tex]为[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶对称矩阵，[tex=0.786x1.286]dSWbQCTjdbLxKy7q0ps2gg==[/tex]为[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex] 阶矩阵，证明[tex=2.929x1.286]PgI7SwgsQ9tTXWFTdkSmxw==[/tex]为对称矩阵。
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证明: 任意[tex=0.643x1.286]ZsZs11iKEvfmzDIurZth8g==[/tex]阶矩阵都可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。