设[tex=0.857x1.214]6tsj+unAQKUtGD5tL7ewDA==[/tex]是[tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex]上的可测函数，证明: 对于任意常数[tex=0.643x0.786]KFl4ILVOU0DB1zdU6Y+zcg==[/tex]，[tex=2.714x1.357]Iahqc5ZURhYgFELsbV6zgQ==[/tex] 仍是 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex]上的可测函数.

2022-06-09

设[tex=0.857x1.214]6tsj+unAQKUtGD5tL7ewDA==[/tex]是[tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex]上的可测函数，证明: 对于任意常数[tex=0.643x0.786]KFl4ILVOU0DB1zdU6Y+zcg==[/tex]，[tex=2.714x1.357]Iahqc5ZURhYgFELsbV6zgQ==[/tex] 仍是 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex]上的可测函数.

答案：

解: 记[tex=2.571x1.143]YP3CLbqPAtZ63bSR7Diakw==[/tex]，对于[tex=2.857x1.214]GqCiqeeqnC8xs45a2MeVIZQhWd21pgi3Ax0qffk8t3s=[/tex], 当[tex=1.929x1.0]Q2qsB4fQ8LlUfDfEGnzcjg==[/tex] 时，[tex=2.786x1.214]C/U6swDOKzNEB37J11MOyhRCGG6FrZ3DymJMzGPDiPc=[/tex]，[tex=17.143x3.357]+IYQ5KoQ/KNhjQD7xklQFnlJSej1CiD4wmGsSLAjwxgouWRAF7QgrtUTeXtC0jPPCJFbkyxuvs9FcKRQiHnxwt1s++gUOWu/fYMyZWXOCD9UjEt5Ln8aU+tV5uEkTLVkQmfGnmpg9+YlW8G/4NHx7f6QSXJpFHSyJFs3OY/LkAE=[/tex] .故[tex=7.286x1.357]F0uMIXaMjiB1CxtH+SoRhWTchQWgbAFeB6masIEgZ/4=[/tex]可测所以: [tex=2.5x1.357]Hg58MMJXDJyc1V2zH4NOfw==[/tex]可测.当[tex=2.5x1.214]hfAbGpoP6PhblXQ7R+MD3w==[/tex] 时，[tex=2.857x1.214]GqCiqeeqnC8xs45a2MeVIZQhWd21pgi3Ax0qffk8t3s=[/tex]，令[tex=2.5x1.0]XkfkJJ+z8rpVfsvz0mhT0g==[/tex]， 则[tex=24.429x2.357]F0uMIXaMjiB1CxtH+SoRhaGrjNPPdJEPgx4V9uqMALAxGcGf1NtBldyNM+lhTcx5u78d1XQxS7jQYEkt+O8Z0NfkCZCOLbbUBnzucsgk+4vQHc0Z7tQgGA4+eQoWVz0CC//lT3pSZO2UVjKXg4chEg==[/tex].在因为[tex=0.857x1.214]6tsj+unAQKUtGD5tL7ewDA==[/tex]在[tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex]可测，故[tex=6.714x1.357]qCvTAak3ccFzBKUGu48wQst7fRtEpIosSVVIZj29jTU=[/tex]可测，[tex=14.357x1.357]qCvTAak3ccFzBKUGu48wQhBbLYXzjHP2AbYEdOOXJJJdX0FyoVlqZ1vVpEhkC0wV[/tex]可测.从而[tex=1.929x1.357]OuWeBotLOyA9BpzktnAd3Q==[/tex]使 [tex=2.571x1.143]YP3CLbqPAtZ63bSR7Diakw==[/tex]上可测函数.

举一反三

内容

0
在上题中，证明: [tex=0.714x1.0]RRR4SYyCqv01G5bWEEMPdw==[/tex] 可同构嵌入 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 中。
1
设 [tex=0.643x1.214]4ssBDc1re7hhNB3dpzYmRg==[/tex] 为环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 到环 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 的满同态. 证明: 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是交换环, 则 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 也是交换环.
2
设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是环，令 [tex=4.5x1.286]ybv996LvkeypfA9MZ/Yitz2fuK3glQ0eZZ/syrFK1VA=[/tex], 对于 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 规定加法、乘法如下:[tex=11.714x1.357]/teWOzvlACn0WUZjQogaWI+8DYnPCdnCShYQAajeZGA=[/tex][tex=14.071x1.357]dgzfoCyYq/iY+ZTOvM+gDdbbQ83gDko/mDo0x3LQ5qFYgDH5Ve6ZL0/wjTtFagNA[/tex]证明：[tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 是有单位元的环，且 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 含有子环与 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 同构。从而证明: 任意环均是某个有单位元环的子环。
3
设 [tex=0.714x1.214]o1HMeHvTnCSY+cMqAEISgQ==[/tex] 是环 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 到 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 的同态满射，[tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想，[tex=0.786x1.143]EiNNRHzKTxg7zGjdHFOxvQ==[/tex] 是 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 的理想，那么(1) [tex=1.714x1.357]2+VR21kpEOyUGEehE2UvdA==[/tex] 是 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 的理想;(2) [tex=3.286x1.5]/Rybg/8CUfBGAEQhpY7PXIK2RmbrEgHGC3vZadxbYqI=[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的理想。
4
设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]和[tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex]是集合[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]上的等价关系，用例子证明[tex=2.929x1.143]C2mN1zCbfhCsNDe5KuTbjwY53jutWC5+HizuaTYOcfo=[/tex]不一定是等价关系。