证明：群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]仅有平凡子群的充分必要条件是[tex=3.071x1.357]lhn0XHWkDQjpgStNKz1WNg==[/tex] 或 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是素数阶循环群.

2022-06-09

证明：群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]仅有平凡子群的充分必要条件是[tex=3.071x1.357]lhn0XHWkDQjpgStNKz1WNg==[/tex] 或 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是素数阶循环群.

答案：

证明  必要性  设 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 仅有平凡子群. 如果 [tex=3.357x1.357]idVYF+eTZBxY65SAgQDHrA==[/tex] 则结论成立. 如果[tex=3.786x1.286]/omR6iTHXNaZ2oNqmBJmbSTNtmIfO/0I2E7PFghxCUE=[/tex] 则存在 [tex=2.286x1.214]HkxD4+/CyQkCqdnFjgbd7A==[/tex] 使 [tex=4.286x1.286]cIkEg/4N3OWbf9BXtG/5Ja77ovydVQ/DnfdySmerAppbGIlQ2+uFV3M15IhH3q9X[/tex] 则[tex=3.214x1.357]UMu6yZaqu6lAbCVsfR7R0DtYza8m6oCEYx2LWZVCsuo=[/tex]已学知识, [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]不可能是 无限循环群. 设 [tex=3.0x1.357]o/dVgihcop3NMKmdwvgkeQ==[/tex] 由于 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 仅有平凡子群, 所以 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 无真因子, 因此 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]为素数.充分性 如果 [tex=3.357x1.357]idVYF+eTZBxY65SAgQDHrA==[/tex]则 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 显然只有平凡子群. 如果 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是素数阶循环群, 则 [tex=1.357x1.357]Bii6ZD0BaRML5x2FHhnPeg==[/tex] 的仅有的正因子为 1 及 [tex=1.357x1.357]Bii6ZD0BaRML5x2FHhnPeg==[/tex], 由这两个因子得到的都是 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的平凡子群, 所以 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 仅有平凡子群.

举一反三

内容

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设 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是群。证明: [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是交换群的充分必要条件是映射[p=align:center][tex=5.643x1.286]vYnB+TvcXPCyhuHqL1f9eiqPnWI+P41J9NXNd2auPeI=[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的同构映射。
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设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是一个群，试证：当且仅当[tex=3.071x1.357]lhn0XHWkDQjpgStNKz1WNg==[/tex]时，[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]在[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]上的伴随作用可递。
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设群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]只有有限个子群，证明[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]必为有限群。
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设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是 [tex=1.0x1.0]G+ERgoWRxeowbOaR7/sBZg==[/tex]阶群, 其中 [tex=1.286x1.0]MmizdvsV9y7oTP/uy7jNlQ==[/tex]是素数, [tex=2.286x1.071]KBpGEH+in8vrAnylQdc1GA==[/tex] 且 [tex=3.357x1.357]QE14FycwQigVlVnLcffRzA==[/tex] 证明: [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是循环群.
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[tex=0.643x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 有 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶循环子群当且仅当 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]有[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶元.再证 :[tex=2.071x1.357]uDUdwqeJnLoclMiXU3BK6A==[/tex] 是素数 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] 阶群,则 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是循环群.[tex=2.071x1.357]leZ2dm1/uybUxLAV8A9gwA==[/tex] 是[tex=1.071x1.214]QNlCeTWiPvK4dPwBORP+PQ==[/tex]阶非交换群[tex=1.0x1.0]zdNN1O/FkAWt1pjWeDlxUg==[/tex]素数,则[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 必有[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] 阶子群.