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  • 2022-06-01
     设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是有限群，[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的任何真子群都是循环群，试问[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]一定是循环群吗？
    • 解：[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]不一定是循环群，例如，[tex=0.857x1.0]WaIVARP/ChUKnCPpHZGNIw==[/tex]，[tex=0.857x1.0]CuybLHbCFcmUB3/GE9iiGQ==[/tex]是两个[tex=0.5x1.0]8C7DKsr6nhrfCdsmGxO88g==[/tex]阶群，令[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]为 [tex=0.857x1.0]WaIVARP/ChUKnCPpHZGNIw==[/tex]与[tex=0.857x1.0]CuybLHbCFcmUB3/GE9iiGQ==[/tex]的外直积，即[tex=4.5x1.143]U6YFkJwUemW+FxQGxte2RA==[/tex]，因而[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]任何真子群或者是幺元构成 ([tex=0.5x1.0]78UzeqfSBK5BNixungMsUQ==[/tex]阶 )，或者是[tex=0.5x1.0]8C7DKsr6nhrfCdsmGxO88g==[/tex]阶的，因而都是循环群，但是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]不是循环群。又例如，[tex=1.0x1.214]vIC1ui1s5j6wm/e+z3rn5A==[/tex]是非[tex=2.0x1.0]D410Ra7tSYZfMF6ZtYg2KA==[/tex]群，自然不是循环群，但[tex=1.0x1.214]vIC1ui1s5j6wm/e+z3rn5A==[/tex]的真子群的阶为[tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex]，[tex=0.5x1.0]8C7DKsr6nhrfCdsmGxO88g==[/tex]或[tex=0.5x1.0]M62lw8bQWoUdmOUl6hezFA==[/tex]，故都是循环群。
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    举一反三

    内容

    • 0

       如果有限群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]有且仅有 3 个不同的子群,则[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 必为循环群,且[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的阶数为[tex=2.357x1.0]jFLnBRxb8B7Hy+eXhKLWag==[/tex] 为某 个素数.

    • 1

      [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是群,[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 是循环子群且在[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中正规,则 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 的子群在[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中都正规 .

    • 2

       证明: 如果有限群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的每一个 Sylow 子群都是 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的正规子群, 则 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是它 的 Sylow 子群的直积.

    • 3

       设 [tex=2.786x1.357]yD5alZ3X9bU+/DKNfWUhhw==[/tex] 为 18 阶循环群. 试求出 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的全部生成元与全部子群,并证明 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的任何子群都是 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的不变子群.

    • 4

      设[tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的一个子群，证明：[tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的特征子群，当且仅当对[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的每个自同构[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]都是[tex=3.786x1.357]/hUAIv2XJLX3YXBqW5nP/A==[/tex].