证明 设[tex=2.929x1.357]f8vXhXZkntbtcn5YtNszyA==[/tex]为循环群. （1）如果[tex=3.143x1.357]+ffGqEoCaO1XtD5rcTB2lg==[/tex],则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的全部子群为[p=align:center][tex=10.0x1.571]ASO79Lx7XorIzXfD+OkCX2aw3jZQI9gX9hIKxPpEoHVfIf8jaMNsVAI3GKreTubJeTAOApOyglKnt7BLTl+WYZ4hCtb/6NuRQOp+iQCSiHw=[/tex].（2）如果[tex=3.0x1.357]o/dVgihcop3NMKmdwvgkeQ==[/tex]则[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的全部子群为[p=align:center][tex=3.857x1.571]ho2B7oQoeaJgTzqz5bQYfbOIXX6Nns7PiwvcUM/c6htf+U69GXScKgmyziwSNCkFVSjjsPHGOR5r/3zKWR4nMg==[/tex] 为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 的正因子 .[p=align:center][br][/br][p=align:center]
举一反三
- 证明: 四元数群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的真子群只有 4 个：[p=align:center][tex=7.0x1.357]kjXOzjtuJ+e2aHKc5D5XpYodA1CSUKzFKTgdmEz8mPsgCuj5s26qWLSLVStApFxDOvfjzSQIsUyktsdPQ3U84qhy+LPeP7tq4b4qYXneOOY=[/tex]
- 设 [tex=4.071x1.286]nR/cJv6OqBZsTDNk+MpaBw==[/tex]，证明不等式[p=align:center][tex=12.0x2.286]X/Ri20XB58Oz2ZfZYw8yP6qEPtmDovjJXhp8eOv8KNGfaJgnC6X1XEJ+2xzOJGQkwqKgHtAAyzdujVIOGdlO7gycABMU66WddDs30mp1D7k=[/tex]。（本题满分8分）
- 对 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]的不同值，分别求出循环群[tex=1.143x1.214]StMMJ6qThnpokZJIPGrdFyP3vrLnUdltYxmLxjw8za8=[/tex]的所有生成元和所有子群。(1) 7; (2) 8; (3)10 ;(4) 14 ; (5) 15 (6) 18 。
- 设[tex=3.286x1.357]RnltMeeeIUCsw+Rboxqe7n0d8Hg3QWaDprX19gBZ6ds=[/tex]为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]阶循环群，[tex=2.643x1.357]vv8p21wHvapOSNJJVekxv4BTBx/VkCtoZpyI8+K+D5g=[/tex]为模[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]剩余类环[tex=1.143x1.214]NV3tuW7fFJHL3T9MiP7g3Q==[/tex]的单位群. 证明：[p=align:center][tex=5.286x1.571]lXZzGFurJ/bbiJxgKdKPiOmit5f0rq1hlLEnOwKSOhkEwmf3I0qtyUlo4Wi0PnVe[/tex]；再由此利用数论结论证明：[p=align:center][tex=3.0x1.214]zOJn+9wqQKuYHsIjnBt0DQV1YRKgf30wm28ZGbMIqgc=[/tex]是循环群[tex=2.643x1.286]6f+P4CIy45aab8A5ZwLRx8IwOvfu1Ky7nox5HNgdkxY=[/tex]为[tex=5.071x1.5]Za+DgknT0MzKPmHYxb9dD48PBouJoEk64QovqABzCgs=[/tex]为奇素数[tex=0.429x1.357]plHcCtdncEdTzaEI1WHBQA==[/tex].
- 证明 设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是有单位元 [tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex]的环, 则映射[p=align:center][tex=5.143x1.214]4huI4vPuOC5DwSwh9v+pqmZ8zIR4uMpqJJGCJdNZD5284UHYZUBluqcDPeiVBFsU[/tex][p=align:center][tex=3.857x0.786]xjKJOk7jgWMso5Sqhr+k7m3CrOAppVSxOnlWEawUee8=[/tex]是环 [tex=0.714x1.0]oaXPjenEQATpEhakjoja5g==[/tex] 到 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的同态.