设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是一个环，在[tex=2.714x1.143]eUSUOmZqe3h2PL1S4fH02FGTr8WV5z6ztlKrlcoXhSM=[/tex]中定义加法及乘法为[tex=11.214x1.357]/teWOzvlACn0WUZjQogaWI+8DYnPCdnCShYQAajeZGA=[/tex]，[tex=13.143x1.357]dgzfoCyYq/iY+ZTOvM+gDdbbQ83gDko/mDo0x3LQ5qFYgDH5Ve6ZL0/wjTtFagNA[/tex]，[tex=3.143x1.214]npydsCcdYUholqtFHoI6bBb+98k8AQvRNvGlE0pP1fM=[/tex]，[tex=2.857x1.214]w/+Nr+NFAwmqP3Kfm8dewQ==[/tex]。证明[tex=2.714x1.143]eUSUOmZqe3h2PL1S4fH02FGTr8WV5z6ztlKrlcoXhSM=[/tex]是一个幺环且有一双边理想与 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]同构。

设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是环，令 [tex=4.5x1.286]ybv996LvkeypfA9MZ/Yitz2fuK3glQ0eZZ/syrFK1VA=[/tex], 对于 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 规定加法、乘法如下:[tex=11.714x1.357]/teWOzvlACn0WUZjQogaWI+8DYnPCdnCShYQAajeZGA=[/tex][tex=14.071x1.357]dgzfoCyYq/iY+ZTOvM+gDdbbQ83gDko/mDo0x3LQ5qFYgDH5Ve6ZL0/wjTtFagNA[/tex]证明：[tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 是有单位元的环，且 [tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex] 含有子环与 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 同构。从而证明: 任意环均是某个有单位元环的子环。