设[tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex]是有限域，[tex=1.071x1.286]o47uln10KUnmSfJmS1m2kSpHLMLBfvRFmO/jeuKxjYc=[/tex]是[tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex]中素域，则[tex=3.286x1.071]GqCiqeeqnC8xs45a2MeVIfQRnBRuFbRwaHAvhJ/Il0w=[/tex]，[tex=0.643x0.786]W9TCskxkagdDgWMvasdFzg==[/tex]在 [tex=1.071x1.286]o47uln10KUnmSfJmS1m2kSpHLMLBfvRFmO/jeuKxjYc=[/tex]上是代数元。
设[tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex]是有限域，[tex=1.071x1.286]o47uln10KUnmSfJmS1m2kSpHLMLBfvRFmO/jeuKxjYc=[/tex]是[tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex]中素域，则[tex=3.286x1.071]GqCiqeeqnC8xs45a2MeVIfQRnBRuFbRwaHAvhJ/Il0w=[/tex]，[tex=0.643x0.786]W9TCskxkagdDgWMvasdFzg==[/tex]在 [tex=1.071x1.286]o47uln10KUnmSfJmS1m2kSpHLMLBfvRFmO/jeuKxjYc=[/tex]上是代数元。
设[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]是素数，[tex=2.5x1.357]vI/G64aXd+UP+7CU5TCqA994jlkj+UL2TEbcE27nsiw=[/tex]是[tex=1.071x1.286]o47uln10KUnmSfJmS1m2kSpHLMLBfvRFmO/jeuKxjYc=[/tex]的单超越扩张，求[tex=7.214x1.357]kLFSJY9qctqgMpkbylY3ysOhBnUup7ZIO9/adUgY3VoU2rqQFcEAGBhPk+hx6YWd[/tex]的分裂域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]及其[tex=2.5x1.357]vI/G64aXd+UP+7CU5TCqA994jlkj+UL2TEbcE27nsiw=[/tex]自同构的个数。
设[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]是素数，[tex=2.5x1.357]vI/G64aXd+UP+7CU5TCqA994jlkj+UL2TEbcE27nsiw=[/tex]是[tex=1.071x1.286]o47uln10KUnmSfJmS1m2kSpHLMLBfvRFmO/jeuKxjYc=[/tex]的单超越扩张，求[tex=7.214x1.357]kLFSJY9qctqgMpkbylY3ysOhBnUup7ZIO9/adUgY3VoU2rqQFcEAGBhPk+hx6YWd[/tex]的分裂域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]及其[tex=2.5x1.357]vI/G64aXd+UP+7CU5TCqA994jlkj+UL2TEbcE27nsiw=[/tex]自同构的个数。
设 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 是 [tex=5.286x1.5]y4Hb6GyFtdEqS10qlDnlx0G27/MYG/2EFQH5A50dT2s=[/tex]在[tex=1.071x1.286]o47uln10KUnmSfJmS1m2kSpHLMLBfvRFmO/jeuKxjYc=[/tex] 上的分裂域. 证明 : [tex=1.857x1.357]QwcZRP/k6GQjt3RgosTUtg==[/tex]在 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 中的零点集关于加、减、乘、除 (除数不等于 0) 封闭.
设 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 是 [tex=5.286x1.5]y4Hb6GyFtdEqS10qlDnlx0G27/MYG/2EFQH5A50dT2s=[/tex]在[tex=1.071x1.286]o47uln10KUnmSfJmS1m2kSpHLMLBfvRFmO/jeuKxjYc=[/tex] 上的分裂域. 证明 : [tex=1.857x1.357]QwcZRP/k6GQjt3RgosTUtg==[/tex]在 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 中的零点集关于加、减、乘、除 (除数不等于 0) 封闭.
设[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]是一个无零因子环且[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]的每个加法子群都是[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]的左理想，证明[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]或与[tex=1.071x1.286]o47uln10KUnmSfJmS1m2kSpHLMLBfvRFmO/jeuKxjYc=[/tex]（[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]素数）同构，或与[tex=0.714x1.0]oaXPjenEQATpEhakjoja5g==[/tex]的一个子环同构。
设[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]是一个无零因子环且[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]的每个加法子群都是[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]的左理想，证明[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]或与[tex=1.071x1.286]o47uln10KUnmSfJmS1m2kSpHLMLBfvRFmO/jeuKxjYc=[/tex]（[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]素数）同构，或与[tex=0.714x1.0]oaXPjenEQATpEhakjoja5g==[/tex]的一个子环同构。
设 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 是有限域, 则 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 有一个同构于 [tex=1.071x1.286]o47uln10KUnmSfJmS1m2kSpHLMLBfvRFmO/jeuKxjYc=[/tex] 的素子域 [tex=1.143x1.0]RJKRNsUdTBDg78oiJ8PTTA==[/tex] 从而 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 上的有限维向量空间. 由此证明: 存在正整数 [tex=0.929x1.0]4YXOg6rmHsFEwpxRSup8Rw==[/tex] 使得 [tex=3.214x1.357]rNRxYHjQdO7YkZT6AAmseg==[/tex]
设 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 是有限域, 则 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 有一个同构于 [tex=1.071x1.286]o47uln10KUnmSfJmS1m2kSpHLMLBfvRFmO/jeuKxjYc=[/tex] 的素子域 [tex=1.143x1.0]RJKRNsUdTBDg78oiJ8PTTA==[/tex] 从而 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]FfIhW8W8Jb8XV2jfmtoNZA==[/tex] 上的有限维向量空间. 由此证明: 存在正整数 [tex=0.929x1.0]4YXOg6rmHsFEwpxRSup8Rw==[/tex] 使得 [tex=3.214x1.357]rNRxYHjQdO7YkZT6AAmseg==[/tex]
证明: 若 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 是素幂阶的加法群 (设 [tex=3.0x1.357]a7uXzahMuzHg0JeOACJ15Q==[/tex]), 且每个非零元的阶都是 [tex=0.786x1.0]G+Pzx7N7YMzU9YG9YyO2Jg==[/tex] 则[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 同构于 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 个 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] 阶循环群 [tex=1.071x1.286]o47uln10KUnmSfJmS1m2kSpHLMLBfvRFmO/jeuKxjYc=[/tex] 的直和[p=align:center][tex=10.214x2.929]bTuRUhM0Be1JoQxCqHaorDti88AE1+eToZN0LwhAAwFAeFQxSI4cMWTHOasWRLg72Vf6S//wG0G0lXWSBvlXNh9cqgBPlMQTtIui+j2/3vRt6xhh8t3GT9BkERlGWTuv37k7IETyYhIhJwz1+Mt7LQ==[/tex]
证明: 若 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 是素幂阶的加法群 (设 [tex=3.0x1.357]a7uXzahMuzHg0JeOACJ15Q==[/tex]), 且每个非零元的阶都是 [tex=0.786x1.0]G+Pzx7N7YMzU9YG9YyO2Jg==[/tex] 则[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 同构于 [tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex] 个 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] 阶循环群 [tex=1.071x1.286]o47uln10KUnmSfJmS1m2kSpHLMLBfvRFmO/jeuKxjYc=[/tex] 的直和[p=align:center][tex=10.214x2.929]bTuRUhM0Be1JoQxCqHaorDti88AE1+eToZN0LwhAAwFAeFQxSI4cMWTHOasWRLg72Vf6S//wG0G0lXWSBvlXNh9cqgBPlMQTtIui+j2/3vRt6xhh8t3GT9BkERlGWTuv37k7IETyYhIhJwz1+Mt7LQ==[/tex]