设函数 [tex=4.214x1.357]+CttsCbBnki+hYnpyrxMHQ==[/tex]满足拉普拉斯方程, [tex=3.0x1.0]BaUmMxJeEJvNQMA2NvnYoA==[/tex]

证明:若函数[tex=4.214x1.357]+CttsCbBnki+hYnpyrxMHQ==[/tex] 满足拉普拉斯方程.则函数[p=align:center][tex=10.0x2.786]CGLNa6TN+aD7FWS1LaIrwqLYx8pNFAucsrF+Uo05QK/tFo55FkdUJv+deZ2mGQRBcPjp/JRMpzJnFS0CLMXxFycEI9kkZTNWnx8fUiNYLNM=[/tex]也满足这方程.

已知 [tex=4.214x1.357]+CttsCbBnki+hYnpyrxMHQ==[/tex] 满足方程 [tex=13.286x2.786]RJakEEAq6IZY8uMTdSFcEHQciZWroG/aWxAiK+JrmCvq2dJmDK1oH9z4WKdRJGJzkUiQTsKSjyP5a1anhhSZ0X0AfZgnZ2tc4cJSAWG4jZXmzMaROGD0TT7hzz5bi/RYSFeWSr4GCL18vC/HyzlkwSszBl0Wmpkj7+Iu2lUZsrcy5ezwXM8L+8FqOlmhXYCMtNHCeazdPRD3Kgg+rqja9g==[/tex], 其中 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 为已知常数.试选择参数 [tex=1.5x1.214]jsM/Lg33JMLvoOCckk59rQ==[/tex], 利用变换 [tex=9.071x1.5]xGkmKkaG17KswPpUBHbYThPS8GFUsUbvR5dEo37D9kxA8ugdYvX4U5YC97DKvSGB[/tex],将原方程变形.使新方程中不再出现一阶偏导数项.

设两个消费者 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]和 [tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex]消费两种产品 [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]和 [tex=0.5x1.0]yBR4oiFoTexGaFalQ7m8kg==[/tex]。消费者 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的效用函数为 [tex=4.643x1.357]+CttsCbBnki+hYnpyrxMHQ==[/tex], 消费者[tex=0.429x1.0]Q2fWySASH/4Xf2eu85OwAQ==[/tex] 的无差异曲线[tex=11.0x1.357]vBRFTxrpk2N91veJeKOqNH7n3F9gBCgPq/eo3Mm7BJxTslxLdVBz4bfv9moZUtdv[/tex] 。试说明交换的制约曲线的倾斜方向。