设长方体三个面在坐标面上，其中一个顶点在平面[tex=6.429x1.786]TBds0hNzYSfS+OjgbQlOLoAFKMPvleqkFaZWJ7QtT+0K76WtdGSEEMDFGmSERlTS[/tex][tex=12.571x1.286]ER2IkVydPIe+HWo6IJvYGBdrMoRBIUEIuQsNuT6eSG4=[/tex]上。问：长方体的边长为多少时，其体积最大？
位于所给平面上的顶点坐标为[tex=3.143x1.286]JCaVO/xcVzQA/48VLTsv/w==[/tex]时，长方体的体积为[tex=3.643x1.286]Huk/a+EoZzggHZH9EGJd1A==[/tex]。问题为条件极值，设[tex=8.429x1.286]PKhzmDQNw2z+MykIDmDsjwxobni6q+XZfoV7GH1+A/I=[/tex][tex=7.357x1.786]fgb+6PdIk5l+bon2qQ+uzrjFBY/rPV5YG0V9Rmomwe72GZ7MCfMM/gf4ccVY1yJvqAszMg6SnJjEL/zpyHNSXg==[/tex]，[tex=8.0x8.786]GE56u9QCDTqcLxZ66HADyjUypJRGCO3/btz4xJteUDVn7MU/q3BUoy7HotpJ/MONaWjjmc/3Dc+zhaKU2kW3qwbRh46ouJDp/zjlcYFRJBo7yeJtVKputeC97xtbsTQ0kc9524Lrs/PJrGAcRhMhJAjQ1cD80tlYNBNhBVF39wAYt6eMMM+QHT0QVcz1tGd6ra0c6P4CJaJYC+nw7oSUNw==[/tex]，得[tex=4.786x1.786]aYTMblcO1WRo6oU9Hm5AT+N6fD+8l5CsPFEQ+vLZxC+rm4uS+ajtcmnQz9qlmwjL[/tex]，再由条件[tex=6.429x1.786]TBds0hNzYSfS+OjgbQlOLoAFKMPvleqkFaZWJ7QtT+0K76WtdGSEEMDFGmSERlTS[/tex]解得唯一驻点[tex=2.571x1.786]F2IHdqTkUNINTCmROds6aojpVs7quDZDIttekgBkbs0=[/tex]，[tex=2.5x2.0]mwBjQbDUljWQirjw99zrbvGqGnqgwSzw3bpd76AvMcs=[/tex]，[tex=2.5x1.786]pF/AXgQUzYFQb4YM2c/Fl94VQgtKEFTtgQymYtcmWj8=[/tex]，即为所求体积的最大值点。因此当长方体的边长分别为[tex=0.714x1.786]Yzah5aNSeSHhtHhM34Cmti1DEVa3Illp+gfVzW+MpEg=[/tex]，[tex=0.714x2.0]VjflQULqiwd26N7bkihuWcOuM2dmkzIARveMCgX0hr8=[/tex]和[tex=0.714x1.786]YHb5ld4PRl3XGodtDTYpeSlEFtu/1SBkXtEprIm297U=[/tex]时体积最大。
举一反三
- 在半径为 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的半球内,内接一长方体,问各边长多少时,其体积为最大?
- 在底半径为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 、高为[tex=0.643x1.0]uPu/UBwxTDghY6MHYDLmcA==[/tex]的正圆锥内，内接一长方体，问长方体的长、宽、高各为多少时其体积最大？
- 设长方体的各棱与坐标平行,已知长方体的两个顶点的坐标,试写出其余六个顶点的坐标:(1) ([tex=6.714x1.357]qHbTKu1jrJRlCEY7RCy7g7yY9lANegUDTKaBWuG4cys=[/tex](2)[tex=7.571x1.357]3+TjJPDhJsGzgPo16JmsWozmMu1u+LLENCnxtActTUw=[/tex]
- 一个长方体的长、宽、高分别是6 cm，5 cm，4 cm，若把它切割成三个体积相等的小长方体，这三个小长方体的表面积的和最大是 未知类型：{'options': ['[tex=3.143x1.286]ags9QHvd4nUBBAZlVmPc+A==[/tex]', '[tex=3.143x1.286]4uLIujDj19oQbU/B0LI08w==[/tex]', '[tex=3.143x1.286]kqpZHNlX3RufcK9aWNo+pw==[/tex]', '[tex=3.143x1.286]mcTpBPv1mIowQagySsEaFQ==[/tex]', '[tex=3.143x1.286]twPbUcjQx5bMBhjrtC1TBg==[/tex]'], 'type': 102}
- 试在底半径为 [tex=0.786x1.0]8oOcqqj8I2sD1c9gKsiFhQ==[/tex] 高为 [tex=0.643x1.0]uPu/UBwxTDghY6MHYDLmcA==[/tex] 的正圆雉内,内接一个体积最大的长方体,问该长方体的 长、宽、高应各等于多少?
内容
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求表面积为[tex=0.929x1.286]yoyIRZ5L9fGRCf7d7hs7JA==[/tex]而体积为最大的长方体的体积 .
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在所有对角线为 [tex=1.929x1.429]b+f4v2La2bUh8sSTiaceng==[/tex] 的长方体中，求体积最大的长方体.
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一边长为[tex=0.571x1.286]mRKL/orzOudCEARA8qn3Kw==[/tex]的立方体放置在[tex=1.857x1.286]c+Z4Z8NGrrwjZdvrK/yxYw==[/tex]面上，其底面中心在坐标原点，底面的顶点在[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]轴和[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]轴上，求它各顶点的坐标。
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一边长为[tex=0.571x1.286]mRKL/orzOudCEARA8qn3Kw==[/tex]的正方体放置在[tex=1.857x1.286]c+Z4Z8NGrrwjZdvrK/yxYw==[/tex]面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]轴和[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]轴上，求它各顶点的坐标。
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在半径为[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]的半球内,求体积最大的内接长方体的边长.