证明:无限维赋范线性空间的共轭空间也是无限维的.
【[b]证[/b]】 设 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 是无限维线性赋范空间,[tex=3.571x1.286]a470owBOq4uAx0xleUuX8rwfmsB3KXhfplfD36dfHej/3Buqsorrw3X3Sp3+rrb+[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 中一列线性无关向量. 记 [tex=17.143x1.357]ePnlj1cAdvLbPBlGJ6JlY8MAzuQ7y//XUhJ15rR4eY4gWyjBzc6b7rcl6H0R0wE4uQtM7Oqb/Elmz8KBLU03G8Gb4RsSrbUwe/pTTMbQUY8AWxj0CwdOdO5Lh25f5bObqlBNyC7yrVzQFXx7uP8/xg==[/tex] 则 [tex=1.429x1.214]EblhVa2dNjQ+AqsbvOGVfQ==[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 中的线性子空间. 因为 [tex=3.571x1.286]a470owBOq4uAx0xleUuX8rwfmsB3KXhfplfD36dfHej/3Buqsorrw3X3Sp3+rrb+[/tex] 是线性无关的,所以 [tex=1.929x1.0]Ut3Vn5bqBB5je+cXRPzLWw==[/tex] 不能由 [tex=4.143x1.0]PEHjulyyPlqy9zB0P/Wcy++HWrN6udTGR1T70DnRweg=[/tex] 线性表出, 从而 [tex=4.0x1.214]8UJL/lkfYySU9stjvkJkYeqf5Xj/oHeR2RZq+Rh3MNc=[/tex], 即 [tex=6.857x1.357]8T9M9p6iEDu/IxLZVwUeF4PSP8+kQIyryPEPZGig8JE=[/tex] . 因此,存在 [tex=2.929x1.357]0B+BmcOijeX3Hahm2zZuJ9B6cwgomgyTk5g3Y+d5uJw=[/tex], 使 [tex=15.214x1.357]J2aUIKL7nj3+ObFtbDSF14JuQS/TtiYDsEEMX7rff1twnRGJfSXXwWybf2uNN8XABRh7JSd4i0slYAEKW+jFAnIzWLxfAarWCuQQdvk5behjtn6OTaQqGpTwb8S4xKpj[/tex], 且 [tex=0.929x1.214]W8C3Dv790MgSORHV3MeL7g==[/tex] 在 [tex=1.429x1.214]EblhVa2dNjQ+AqsbvOGVfQ==[/tex] 上为零, [tex=5.214x1.214]l5duAhLNpgJGAiXNVEsPzeoQaP4lW1entYjtSYSO8vI=[/tex],下面来证明 [tex=3.429x1.286]VmVTRGL+Yrb+B4ItYfwrCWXsVZqaePbcGWiOnwhKdfKlRxSi1ies/HlCr5y3+rlK[/tex] 是 [tex=1.143x1.143]1+A7UhRfqn5C/Ni1OLPmLA==[/tex] 中线性无关的向量. 若存在 [tex=6.214x1.214]/bDkYQ139Zch0q0DNYHBmSkqox1PyCZ4BDYHDp+ZcjY=[/tex], 使得 [tex=9.786x1.214]D1fLKvqqc+bTn96JcUCWxLX5OjD9aJIjGiwBvzg4J+5VbaT5Uu/js/ccJZf6u0ifJKq6YV/mfphqfa5syq+iDQ==[/tex], 则[tex=15.857x1.357]j1MecFg7iptz57m6dBPV2HuIPkw5e5skcHnxIJkhb5xMEnZxlTMck7eewHpoAZqDSjE2tXZxu0NJcx0RmIXMNWNjS/rsiCPTeOOCtQTAm59KtVRL9IGzl1k3lidphYl07EezQTgN7/2mMIjALeOm0w==[/tex]由于 [tex=9.5x1.357]HCuuOHz60i7PRCviO7v4sCOLGASTOzubSCZ5g32qehmsb6k3mJivvAghErtImJVT[/tex], 必有 [tex=5.071x1.357]dUa1F/JWfFdRUW1+wxoAVlLe+FP6rfoEluW1QPfqFFLiQkFw+9sFxeg9hLz6CviJ[/tex], 而 [tex=4.571x1.357]75DvwVNzOGhpWj/W5wWbCXpmP7lR0Pw6mpVz8fB6++o=[/tex], 因此 [tex=2.214x1.214]gL4RnWVJHJgkxPhB3ltaPg==[/tex] . 类似可以证明 [tex=7.929x1.214]BwCGi7JNWaE1Se36D7Fpg0SbbVXTHBwJV1nHMlwfxMo=[/tex], 则可知 [tex=5.5x1.214]G2YN8Xa3V3RQ60K8Gad/d0ISkLUUq09K63ptO+fnOWc=[/tex] 是线性无关的,从而证明了 [tex=3.429x1.286]VmVTRGL+Yrb+B4ItYfwrCWXsVZqaePbcGWiOnwhKdfKlRxSi1ies/HlCr5y3+rlK[/tex] 是线性无关的,即 [tex=1.143x1.143]1+A7UhRfqn5C/Ni1OLPmLA==[/tex] 中有无限 多个线性无关的向量,因此 [tex=1.143x1.143]1+A7UhRfqn5C/Ni1OLPmLA==[/tex] 是无限维的.
举一反三
- 证明元穷维赋范线性空间的共轭空间是无穷维的
- 证明任何有限维赋范线性空间都是自反的。
- 证明：数域[tex=0.643x1.0]SrAoc7XdpRH4/IzfgfsX9A==[/tex]上的无限维线性空间[tex=0.857x1.286]ZpwhzmyivskaH5M1X7ozaQ==[/tex]一定含有无限维真子 空间。
- 证明：所有实数的集合作为有理数域[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex]上的线性空间是无限维的；所有复数的集合作为有理数域[tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex]上的线性空间也是无限维的。
- 以下关于有限维赋范空间的描述正确的是（ ）. A: 有限维赋范空间必完备. B: 有限维赋范空间必可分. C: 有限维赋范空间的任一子空间都是闭子空间. D: 有限维赋范空间中的有界集必为紧集.
内容
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求证：任何有限维线性赋范空间都是自反的.
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证明下列线性空间是实数域上的无限维线性空间:实数域 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 上的连续函数全体构成的线性空间 [tex=2.286x1.357]w0V/CiXuX1+xa+kdyxqW3Q==[/tex]( 见例 3.22(5))
- 2
设[tex=0.857x1.0]N7iCrOsS+NNEUUlnsYCi1g==[/tex]为赋范线性空间，试证明(1)序列弱完备的赋范线性空间必是巴拿赫空间
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证明:赋范线性空间中的任何完备子空间是闭子空间.
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距离空间,线性空间,赋范线性空间,Banach空间,内积空间,Hilbert空间的内在关系