某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆 (如图)，截面的面积为[tex=1.786x1.286]ihT/Bk+1prF+3/xJSlPNWA==[/tex]，问底宽[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？[p=align:center][img=210x253]177ab427513284e.png[/img]

2022-05-30

某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆 (如图)，截面的面积为[tex=1.786x1.286]ihT/Bk+1prF+3/xJSlPNWA==[/tex]，问底宽[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？[p=align:center][img=210x253]177ab427513284e.png[/img]

答案：

解  设矩形高为[tex=0.571x1.286]x194220Kn6/AuOngnKO24Q==[/tex]，截面的周长[tex=0.714x1.286]yQZEV57S9rHjYvgfJydTyg==[/tex]，则[tex=14.5x2.071]qV/aXrfM/BrYHpBGayf/xxQPkDmzM5Zg+4hB+BO819XnpZ4nFPyraNPLoa2wVr55hWoQwOyOfqfXMuTAkI+b3k1LDLIU9jWIE2feNyceg8mOXuo8QGLXHOicCu1stvHl[/tex]于是[p=align:center][tex=21.571x6.071]rZM5/OPAdr7aX+kNl9iwpDxjgyy2PHpcCCPU/c8iAFGmcD6lpaOAEPkNItoGBmGKOBUTw433TRJ43G9H9q6y+eoMYjUSbIjX3RhfEFrz23UJSoWSOkhpWi5hCxJlJKHedCBGJb5ewnFrZoWLcWBKGA/ISFotfRE6GSDTWxEVHylv1IG8f/swlp6hPH0//cIDqr2dIwM4q38rIV1zZrAtzOlZnqFGm2wjfboYRm6rEj9/SBnDShk2GrUpV4BwiNKH[/tex]令[tex=2.714x1.286]QrdND+r7mXH3fbGMDWGw43K73iRaBwkP0S0wx7dF0fs=[/tex]，得唯一驻点[tex=5.571x2.357]iTHTpMgufkgua2YJwt2ua+KQ3gLbQ0j39crvTiSdpjs=[/tex]因为[tex=5.5x2.0]uAfURenNNoBwnZwU3SQfa7K1287AbrUYx3Ba1oQ3Ztym4Y1XZmnzOo1pb0M+Knuq[/tex]，所以[tex=5.429x2.357]iTHTpMgufkgua2YJwt2ua9tzYmSUcNvHC6A4H8dljvk=[/tex]为极小值点，同时也是最小值点。因此底宽为[tex=5.429x2.357]iTHTpMgufkgua2YJwt2ua9tzYmSUcNvHC6A4H8dljvk=[/tex]时所用的材料最省。

举一反三

内容

0
如图，正三棱锥[tex=4.286x1.286]J5o5narKYFa+9nVfhIEhxg==[/tex]，底面边长为[tex=0.571x1.286]mRKL/orzOudCEARA8qn3Kw==[/tex]，侧棱长为[tex=1.071x1.286]B32Tl9FzSPNJHINd73NgqA==[/tex]，过点[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]作与侧棱[tex=1.571x1.286]e/M+7IW9tlhsCB6JYdr25Q==[/tex]，[tex=1.571x1.286]vag9EtOeRpEggefEBdKdxA==[/tex]相交的截面，在这样的截面三角形中，求：(1)周长的最小值；(2)求使周长最短的截面截取的小三棱锥[tex=4.286x1.286]jmYVKCmTjWRf6Fj83xYOog==[/tex]和原三棱锥[tex=4.286x1.286]J5o5narKYFa+9nVfhIEhxg==[/tex]的体积之比。[img=337x381]17881d175b029b3.png[/img]
1
矩形截面简支梁由圆柱形木材创成。已知[tex=3.286x1.0]LYYfPsF1yd/fD5ODOG3GLg==[/tex], [tex=3.5x1.0]/daLURF1vQtYcO+UV122iw==[/tex], [tex=5.071x1.357]9JVK8dCVvPzMU8Iw+L9yKntuUSiYj+YSTLXqCcmoQf4=[/tex],试确定此矩形截面[tex=0.857x2.429]3VLVSQNglvRBASw553aqTQ==[/tex]的比值（使其截面的抗弯截面系数具有最大值）及所需木柱的最小[img=422x226]17a6742041739c5.png[/img]
2
如图所示一矩形截面简支梁由圆柱形木料钻成。已知 [tex=12.214x1.357]8KEMsl4BPRZK+QnqscwyjzQ6sTT7du+PODfhNZmQio0a1Gp26SCA9T+TO56DRKtQxP3fKkmzzJhqOAbT+ethTw==[/tex]。试确定抗弯截面系数为最大时矩形截面的高宽比 [tex=1.571x1.357]u2W75T7v/PYZGaAosmerMQ==[/tex] 以及梁所需木料的最小直径 [tex=0.571x1.0]hXwI6nnMJ2kxGYNl2OSrPw==[/tex]。[img=612x190]1797101f44b2f09.png[/img]
3
已知边长为[tex=3.214x1.286]S9CzKc+X2Az87ymHr8NgWw==[/tex]与[tex=3.143x1.286]aXynoLM9V7w70tsYkYO1lQ==[/tex]的矩形，如果边[tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex]增加[tex=1.786x1.286]omc+XuO3xOZP2Vizn7+Sbw==[/tex]，而边[tex=0.571x1.286]Hz6y44ELFVLLNrLVhO3CQA==[/tex]减少[tex=1.786x1.286]+kkLryelLVTP+/DMAviS7A==[/tex]，问这个矩形的对角线的近似变化怎样？
4
一窗户下部为矩形，上部为半圆（如图），已知其周长为[tex=0.857x1.0]3dL6VJHKHZnugLK8MQRDDg==[/tex].求窗户面积[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]与矩形底边[tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex]的函数关系.[img=185x221]17883803358b511.png[/img]