• 2022-05-31
     域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上多项式 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 的次数[tex=3.643x1.357]G/HL1Sgqu9eq+9Iw0Nh2LyI0gPsOjzMUFW3qsk7tdd8=[/tex]中 主 理 想[tex=2.643x1.357]SepfkGWj7dEbuVVTkeNOJg==[/tex] 是素理想当且仅 当[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是不可约多项式.
  • 完全可仿照习题 [tex=0.5x1.0]2IRxdDa5OUp8cccgqlpdUA==[/tex] 的证明. 设[tex=2.643x1.357]Wv2EwhyyeScbEMlKJZKxSQ==[/tex]是[tex=1.786x1.357]2pFrMmryE2cRTmNCb4YNBA==[/tex]中理想[tex=2.286x1.357]yLhi+Lxa5sRVeu0wca5b5A==[/tex]的次数[tex=1.857x1.143]CTnyiLvbYZRTFwj6vyDxJw==[/tex]若 [tex=8.643x1.357]/QZXMPAPQp5LJQWnUUtwA4kJiqbJAvYvg6SjkiIA8js=[/tex]及 [tex=1.929x1.357]0fRX0V1rxv8nkoCpsr9nHQ==[/tex]的次数皆大于等于 [tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex], 这时 [tex=4.214x1.357]PVHMYKaEhIGSJUQYFxHTuQ==[/tex] 皆不是[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]的倍数,故 [tex=7.786x1.357]mANrschCtorGK2Q66TTtiA19IdMndDATYeEFIgqy3Nw=[/tex]但 [tex=7.071x1.357]S5vBONPs8diioOwJ+EuuBKwT1/E/+8zLZDauv9j1UCI=[/tex].即[tex=2.643x1.357]Wv2EwhyyeScbEMlKJZKxSQ==[/tex] 不是素理想 .故若 [tex=2.643x1.357]Wv2EwhyyeScbEMlKJZKxSQ==[/tex]是素理想,则 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]不可约. 反之,若 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 不可约.对 [tex=7.357x1.357]S5vBONPs8diioOwJ+EuuBFJzZjT8PSnMcAhF46AEq9c=[/tex]则有 [tex=8.286x1.357]Ql3VLYIHI2aFhv079D5luyaLu37iKWL87bJzxC9zjFw=[/tex].若 [tex=4.5x1.357]ShTuQDB0guSKuvZOgm7LB0dGW2npF11Qsz8N+RlM50c=[/tex]则 [tex=5.429x1.357]WrUZU1aHtTrNKo3Q8CmIyy80MA/XLmvbF3pmWxr6Nvg=[/tex]若 [tex=5.214x1.357]sECQ1uBMd0uY7sdaztgy8ExCZjYwH/QFtvwV0RovMQc=[/tex] 则 [tex=6.5x1.357]SCBkc5H4H7gXsFShGuBkXAoiSNku8As9RBFWpKdJY4U=[/tex]于是 [tex=4.357x1.357]fgYkUtguyLhJOjMuWSU6sLr6kprGHnm3F5uwdMGwY5M=[/tex]即有[tex=5.5x1.357]HHUuxSiQwO2G6kRvT+I5IsGQ/Zsnf17i9+Do8RU+G9o=[/tex]故 [tex=2.643x1.357]Wv2EwhyyeScbEMlKJZKxSQ==[/tex] 是素理想 .

    举一反三

    内容

    • 0

      设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是次数大于令的多项式, 求证: [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 等于某个不可约多项式 的幂的充要条件是: 对任意非常数多项式 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex], 或者 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 和 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 互素, 或者 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 可以整除 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 的某个幂.

    • 1

      证明:次数大于0的首一多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是某一不可约多项式的方幂的充分必要条件是,对任意的多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]或者有(f(x), g(x))=1[tex=6.786x1.357]LBShIAKXyumE73h8+CWE0g==[/tex],或者对某一正整数[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex],[tex=5.214x1.357]2b+0ZPIn+JhnqeNAq++wBM+CF08EAq9ClmGz91b+CDs=[/tex].

    • 2

       设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 与 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 是域 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 上的两个不可约多项式, [tex=1.286x1.214]rkgrF+YaaESwSQDjR6KfWg==[/tex] 分别是  [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 与 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 在 [tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex] 的某个扩域 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 中的根. 证明: [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=1.857x1.357]tPNFVy5slGvSYsD8XFn6/g==[/tex] 上可约当且仅当 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 在 [tex=2.0x1.357]meCJel/67w3XgRBnBuDjxw==[/tex] 上 可约.

    • 3

      设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是复数域上的多项式, 若对任意的实数 [tex=2.643x1.357]iBJ26CUHVdKHcNejg97vnw==[/tex] 总是实数, 求 证: [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是实系数多项式.

    • 4

      设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 是数域 [tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex] 上的多项式且对任意的 [tex=2.714x1.214]fM/AeEA3d2UlyV0HQ3vQLA==[/tex], 总有 [tex=8.071x1.357]4qSSeGwWRF+xShFNqoZKdHzPuEpeSkd+kBiopnJQpq0=[/tex], 求证: [tex=3.714x1.357]pTgo5IUoVXYHzzmGelnxxg==[/tex], 其中 [tex=2.143x1.071]3sbGjGMJh5TubUkP5jTWOA==[/tex]