[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]个秩为 1 的矩阵之和为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]是否成立？若成立请证明，否则举反例。

2022-05-28

[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]个秩为 1 的矩阵之和为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]是否成立？若成立请证明，否则举反例。

答案：

证明：设[tex=15.357x6.357]qQWHIa45b9K6zXDmQ4UZGvyCwLJXayX1iyEjrkJrZ3zk4bJmsyv4Ba6Uf+69IY/qqvfx8IBpNA2x7jtIy9KTmJaOGcmmlNgiW6mf8kYpmCwJpsD8ydbHIkpfRywagTh+QUeuwNegIgbgNOME4ewYhw==[/tex]，[tex=15.357x6.357]goEVrepzMT+Co/eCoYCrRqrGKN4IyuT/tBHPfalHMNUoHQYir9Mt7dCSApeyBpKHOMkCq6WvVqhbdlyPLdIqpweY1+fOzS93vnfU80ZchritoSd/BYxMPhuZ6RIs265rPXY/M+HVAdCnNcBIcgIxXA==[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=15.357x6.357]CbQLBhGKHhj1bBlaxP7j/bI0NMD5Ke7cmYBERHD15hvA/bVqAJuawE0+l4dhRQ24bjpcQ/okniQXPKMUV3uAl/rAPblicLC1RBCSiLUqQ8d5oGqgVuCADNAtCmSu/wXayai0d6JVkxhWuCNEOIH2/A==[/tex]显然[tex=6.857x1.357]919hmd2VlCSjxtf7pTAfqHkjdAZe+C1xcgQmSpGeoE0=[/tex]的秩都是 1，但是它们的和[tex=14.929x6.357]SG13E7iu2HdaLVWfWJMdalpsfVxl9dlOqtxj5chkHAiCZBtdfD0QmG/LGcGA68cn6sBHrjneKywgq0erVYMvRMR+R5Z77Od42HcrS/LX30XFhvEyfQBah9AX0cRrx+p6YuXU1BCkwDnuV1j1QqQd9w==[/tex]的秩是1而不是[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]。所以该逆命题不成立。

举一反三

内容

0
求证: 秩等于 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 的对称矩阵 [tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex] 等于 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]个秩等于 1 的对称矩阵之和.
1
证明:如果秩为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]的向量组可以由它的[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]个向量线性表出，则这[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]个向量构成这向量组的一个极大线性无关组.
2
证明：秩等于[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]的对称矩阵可以表成[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]个秩等于 1 的对称矩阵之和。
3
证明: 实对称矩阵 [tex=0.786x1.0]Gl8myqGBf3V5xKlLwXodGw==[/tex] 是秩为 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 的半正定阵的充要条件是, 存在秩等于 [tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex] 的 [tex=2.286x1.071]qxUBJkw5pHPFqpR4rHoDwQ==[/tex] 矩阵 [tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex], 使 [tex=3.357x1.143]rBiqGaSDVnQOpJm3gHRQdr95ppa2wBY12deY6FUqLHU=[/tex].
4
证明：秩为[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]的向量组中任意[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.