设[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]是域[tex=0.786x1.286]BlkXDnmzWHxe4M6E9LlofQ==[/tex]上的有限维线性空间，[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]上的一个线性变换，[tex=1.0x1.0]0e+76hgEqXhGRszRQWFSzQ==[/tex]是[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一个子空间，用[tex=2.643x1.214]KdJTfdOLEBWMXQir5AfhBQ==[/tex]表示[tex=1.0x1.0]0e+76hgEqXhGRszRQWFSzQ==[/tex]在[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]下的原象集，证明：[tex=2.643x1.214]KdJTfdOLEBWMXQir5AfhBQ==[/tex]是[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一个子空间，且[tex=15.571x1.571]lBXXZYMMrxJ2+/5vAU9EvVvBGnLtY5JG8CbyUBVipe1uKDCQ1/KMuX64J9SLCi3ar2m76lz6zTaMR/0PayL319rvQLU4zhEdMizyHv9JVIUABc0jzkHxvW8wRmhsuQQnu66lpQQHQ5Y6rNUSTKc/IJw3GVC2rz/DOYqBVzfdYTs77YU3Muuc0/toyWs+9rVf2Yiw28jepiPWOuG3qlOl0Q==[/tex]。
举一反三
- 设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是有限维线性空间[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的线性变换，[tex=1.0x1.0]0e+76hgEqXhGRszRQWFSzQ==[/tex]是[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的子空间，[tex=1.714x1.0]xIy1AT19mrzIEEo5ZeH+0A==[/tex]表示由[tex=1.0x1.0]0e+76hgEqXhGRszRQWFSzQ==[/tex]中向量的像组成的子空间，证明：[tex=18.0x1.571]lBXXZYMMrxJ2+/5vAU9EvUMjF2EjPNhXdhxshHJhWR5XKEUfpmEWqqipid115QO+Se1ZwcFo29oVwLnqDA4U/LY08VLkqkIskbWQTSVYUsK7yqTiCnOU9+rFk9A8bWyIReqN+vhVvIdX9yigoWZPqA==[/tex]
- 设[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]是线性空间[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]上的可逆线性变换．证明：１） [tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的特征值一定不为０；２） 如果[tex=0.643x1.0]7dwHQGHL24uGORI8NryViw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]Yn3GgEZev6SOu2r4v1WnCw==[/tex]的特征值，那么[tex=1.643x1.357]7hXLKuNcz29qRRA2zjn4rA==[/tex]是[tex=1.714x1.214]d+9NDUvA5ZDrRGeFW5fxcQ==[/tex]的特征值．
- 令[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]是数域[tex=0.643x1.0]J+LW/0i6Fe+lWEmBUgT8zg==[/tex]上向量空间[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一些线性变换所成的集合.[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一个子空间[tex=1.0x1.0]0e+76hgEqXhGRszRQWFSzQ==[/tex]如果在[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]中每一线性变换之下不变，那么就说[tex=1.0x1.0]0e+76hgEqXhGRszRQWFSzQ==[/tex]是[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的一个不变子空间.如果[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]在[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]中没有非平凡的不变子空间，则是不可约的，设[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]不可约，而[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]是[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的一个线性变换，它与[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]中每一线性变换可交换.证明[tex=0.714x1.0]OqF+/h/mAb1/2XhJuj27xg==[/tex]或者是零变换，或者是可逆变换.
- 设[tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex]是线性空间 [tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]上的可逆线性变换. 证明：[tex=0.857x1.0]xs/zPwdLSSAmQIIfXPkuWQ==[/tex]的特征值一定不为 0
- 若[tex=3.071x1.214]wQ/cVPtUw1FrqD5sLlaQDQ==[/tex]是线性空间[tex=0.643x1.0]SW0o8G0GHsmLXldwnq7xKg==[/tex]的两个子空间，证明：[tex=22.571x1.357]lBXXZYMMrxJ2+/5vAU9EvSU84vThpvGfkTUbMdjmmggoyhJmUGzn3O7DMlDBRwDaMsviT88rNr84r97OiDMYgxSGlKY3QgVcm1WHvXGRvefdZmmvTjeXqfEFs3Xbm0uvVjyhQ+jgIquh0iPdTZx4VcbjTl73iOv9r2mAj7U7QeVhN9Z4NmFOyiGKsIdi8JL6[/tex]，这里[tex=2.714x1.0]3pUWlQ1tmh/N4ENzskpzEg==[/tex]表示子空间[tex=1.0x1.0]0e+76hgEqXhGRszRQWFSzQ==[/tex]的维数．