设函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 有连续导数 [tex=2.786x1.429]egmGySa5C2ugHKa8wJK+tTyQDhbiDobr3m9uXNaDfzE=[/tex] 存在 [tex=7.643x1.429]IliYyXQ/LeDk8wCXsJUVgBLqdtSE0Ipf8z0XOeWG43c=[/tex]且，[tex=10.929x4.071]PhL/cv4k8jAjyF+v4yjHJNjYkz6+iBjZysCDeNkD9DwpPVXF1SwBrYxlqOY13zPe9rsyGkYaTtL8Eimo9+AavYZB/FlPy1P2dFwaN8061E7sZLU/tPbCxUQkLah90VDW[/tex]（1）试确定 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的值使[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 在 [tex=2.429x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex]处连续，（2）求证[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex]在(1)所得的[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]条件下导数是连续的.

2022-05-30

设函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 有连续导数 [tex=2.786x1.429]egmGySa5C2ugHKa8wJK+tTyQDhbiDobr3m9uXNaDfzE=[/tex] 存在 [tex=7.643x1.429]IliYyXQ/LeDk8wCXsJUVgBLqdtSE0Ipf8z0XOeWG43c=[/tex]且，[tex=10.929x4.071]PhL/cv4k8jAjyF+v4yjHJNjYkz6+iBjZysCDeNkD9DwpPVXF1SwBrYxlqOY13zPe9rsyGkYaTtL8Eimo9+AavYZB/FlPy1P2dFwaN8061E7sZLU/tPbCxUQkLah90VDW[/tex]（1）试确定 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的值使[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 在 [tex=2.429x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex]处连续，（2）求证[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex]在(1)所得的[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]条件下导数是连续的.

答案：

解  （1） [tex=1.857x1.357]4AsehPcyFJurfSXX5VJeww==[/tex]在 [tex=2.429x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex] 处连续，又因为 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=2.429x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex] 处[tex=3.929x1.357]t1Zi6UbUuXZQsu6oZTiehg==[/tex] 所以                                    [tex=9.571x2.5]32MKYDf2W2GxVqK+wj1l0+u08O6zYWv+bxtwItdm8qTRupuZEnnDYdI3AoBN3HloLmn6wjzMN4j18vgw3LMiyXEagXtjpM3dDrBj1zyk/oA=[/tex]                                      [tex=11.571x2.5]MiKRkUc+RA7d/dPkcEDJUoLGQo1ST+Fmp+/pJbX+2KkExm8MGCsqbLtcmjMYysvEnli0sIYyUQlYuf7gouByOQBHRAirCxiSosSlBBGiLiE=[/tex]（2）由导数的定义得[tex=18.857x2.857]1ndSs80Sjnc2YXhLg946MuxBJLeKrmgGeSjSsjkSn+0JRsZOSBX1wnMGTzEClsVNcpnpAHSEiYDdl3BrWhNP14JZd4QiuqhFq0CGP+rtInZpVLqTpS8mhjdSs1eH6g15WchmTLJ04zRIbmSqVJr36dla68EK2uK3g0skkbn25cerUmdlDDE48Tx+1kBdoD2g+ctYUziqIVH9u/XOD5imbw==[/tex][tex=12.214x2.5]MiKRkUc+RA7d/dPkcEDJUoLGQo1ST+Fmp+/pJbX+2Kk6fbNAYa69XixSxKL8aSojwyf9hjmcGtzPIlyQTTeMRymThfJUU5YGKwh4qa+J/9Zg6CO57wZfD1+P9DeOl1GzgreWOVxnlmeiXLzx5PJM1g==[/tex]从而有[tex=14.429x5.214]NDidOQ4EUbN8ZliGy89hXonI0KXgh8NU3injeqErJ2i9+9LTwB+VFicfJBw/71NdkWX5+2mKtjOK43v1nV/uRyEJZFSdmMaP6z5bOlSYuyorc8BvWZXfTV/oDRa9qlYRhHESNZwlWs5nV4lFKw+BryZggK2FsMTvaVmeHr9HijpeRrlaiDtWkt/fD9EFMJVoyQ3xDFm6gB611lPeSMXsKw==[/tex]下证 [tex=2.143x1.429]DaxPfemWCiQgaNp8zD8Zfw==[/tex]的连续性.当 [tex=2.429x1.214]J/cCyv8nBbLutvPfBXF+Yw==[/tex]时. [tex=8.643x2.429]NDidOQ4EUbN8ZliGy89hXhXjCWKPTg/A9XwFWCmR8FVWOC0VJzQYonUenBYbunAM6LUXLHtD6xfHqFreO+Rt3Q==[/tex] 显然是连续.当[tex=2.429x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex] 时.[tex=11.929x2.5]ENxIatiC2yqgaopSQCG83ii3gBDMcAiWS4xDLGyBsnaPbG+aFHLHF9euxK4kuCCZVPphCjiL/KOYacbvmPZAhoEV/t9ZQzF71bBPxAtkELB7UViV75DM4/Wcm21adTcFB8I7f6KJB2VIfGj/y+Sr/w==[/tex][tex=9.786x2.5]MiKRkUc+RA7d/dPkcEDJUoLGQo1ST+Fmp+/pJbX+2KkIKXRxKZqvvxUTSfZ2eUJcBBo5ewDWxLLqwksmqACKCLwoA479IwMdBw2e7DE8jgnNYVCKhFrHDWOQAetTtCgz[/tex][tex=12.0x6.571]MiKRkUc+RA7d/dPkcEDJUoLGQo1ST+Fmp+/pJbX+2KkIKXRxKZqvvxUTSfZ2eUJcBBo5ewDWxLLqwksmqACKCLwoA479IwMdBw2e7DE8jgk3fiv2ZUbf1sNmcNo9egQtsP6ct6v82/GxQsmt1aVbzLIoexKTfokD4W+LaV7V1Xb0Wy2bhPOfhWr9t/O3rokp9HDlkP1wEF+ZeJAXrM16/v5ea72swUrV1mDX5ZaeIL7cSwOD1vfXLAoyWzBip1O+OUKCTwUKzkuZQw2egyLPLHLsS1wVlB5pHkxAUPc4AJs=[/tex]可知[tex=2.143x1.429]DaxPfemWCiQgaNp8zD8Zfw==[/tex] 在 [tex=2.429x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex] 连续. 证毕.

举一反三

内容

0
设函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 满足 [tex=3.643x1.357]trWzXE2Y41pdKtnPLMtSnQ==[/tex], 证明 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在 [tex=1.857x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex] 处可导的充分必要条件是:存在在 [tex=1.857x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex] 处连续的函数 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex],使得 [tex=5.071x1.357]V/Yt0M6xxWzSF4VP2LPvmQ==[/tex], 且此时成立 [tex=4.643x1.429]j33crdi4rhtvkGdRcb9xHv8ljW9mqQebzO3XpbwfxLI=[/tex].
1
已知[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]为偶函数，[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex]为奇函数，且[tex=8.857x1.357]J70c06NcKSuavVueJFA+2JxXMulFojgPT0TTO8QgrTU=[/tex]，试求[tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex]、[tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex]。
2
函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 在[tex=2.429x1.0]bOlCq/PHWhsSVMaVf7Obdg==[/tex] 处连续，且 [tex=2.357x1.286]Fi2NJRx2RFwIfP6VHB/3aQ==[/tex] 时， [tex=5.214x2.357]50eeCK36Ke9MlXMNn8zhYcW4zNdIiMs46KE3fGlp7cY=[/tex] 则 [tex=2.571x1.357]xbxx8OurM1EJDW2xFdqbOg==[/tex] A: 0 B: 1 C: -1 D: e
3
设: (1) 函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 当[tex=2.286x1.0]ii77lCTXExv3mnaX1dHV/A==[/tex]时是连续的,而函数 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 当 [tex=2.286x1.0]ii77lCTXExv3mnaX1dHV/A==[/tex]时是不连续的; (2)当[tex=2.286x1.0]ii77lCTXExv3mnaX1dHV/A==[/tex] 时函数 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 和 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 二者都是不连续的,则此二函数的和[tex=4.5x1.357]FuopRL4cHdRFBwxxjhBglA==[/tex]在已知点 [tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex] 是否必为不连续的?举出适当的例子.
4
设 [tex=1.857x1.357]bZ4KhrFbnCaidqbMGQZfww==[/tex] 具有二阶连续导数,且 [tex=3.357x1.357]S8DKqLIO+otbp01PE+ZH8A==[/tex] [tex=11.286x4.5]PhL/cv4k8jAjyF+v4yjHJNpjGPiWgAcN2FFZnZdXw77NUjEjkjspv4YispdKli6Kt9wI/eexrx0vu1gUUw4V5f3nytu/yCjsvcX8QeA66xI8csLlfEZ5Mi8u81M9q8AdX/e18mAZC4LRSlkt9iQXaA==[/tex]，(1) 求 [tex=2.143x1.429]DaxPfemWCiQgaNp8zD8Zfw==[/tex];(2) 证明 : [tex=1.857x1.357]4AsehPcyFJurfSXX5VJeww==[/tex] 的一阶导数在 [tex=1.929x0.786]qBxW1Wco1uHB6W+VkCK3Kw==[/tex] 处连续.