求内接于半径为[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]的球有最大体积的长方体。
解：设球面方程为[tex=7.714x1.286]QwY3CbnOdl+ukx2Eamho1K3Dws2/rQcl25wIlu67STQ=[/tex]，[tex=3.143x1.286]7bLaAVP3tuGNm9yOVn/tbg==[/tex]为所求内接长方体在第一象限的一个顶点，则该长方体的长、宽、高分别为[tex=1.071x1.286]tozgWPWnSXID68OhDFVaDg==[/tex]、[tex=1.071x1.286]3CBdWjUc5bZbSB7Z5uuwDw==[/tex]、[tex=1.0x1.286]YIdfrVVuCQRuihy8XoeN/Q==[/tex]，体积为[tex=4.143x1.286]iVjjRfAg+UpkugKMicvsHw==[/tex]。由拉格朗日乘数法，令[tex=18.571x1.286]SQnoPigeoPhSgd0SsdHjdnTR/Je5Z9a5pChijTAnl2hnxf/HPWKNDzMPJSZY8MpEQdi7R4tTiA0gQaEd5whWlizzYpWXHIPlOSWDzQwZQP4=[/tex]解方程组[tex=11.214x6.357]GE56u9QCDTqcLxZ66HADykCLLF7Qp0MpDjYbDLOZ6iAwPlcGbr62pTR6Nc6kt7WGGO4hvTQk+7NS8L+el9rHHqliR4BRkTGl4FDJYTLXy0NM5rPIHBTUoRgqQKMLR09PJOjUt6EGisE7Kd2q2bukBHF+OmPFWlGI/zYfxIidsAQeD4qwsP4TyG+bWKmLN9ZhHeshmDcekhUtM5yq34AMlxcfSMf81bSlwBMWwonqi23QKjwkhRr5EMFZqKN7vN9ecNJ8fDaqIJiZqyG+Fwu7USPDkSby5XKV9uxs/68q2UI=[/tex]得[tex=6.929x2.214]0x6O/SVB2tCT/YuFBwh7rlNAP2EiB8bMs8f1XCXAczo=[/tex]，[tex=4.929x2.214]qcXkpT0+Tfe5k4+YT/nFlD70ENufE+hk3NhdyOZvUagj3MfmCXFANkQtmWSJvSYV[/tex]。由题意可知，最大体积的长方体存在，故唯一的驻点[tex=6.714x2.357]eEeJAKPRtva+yL8CZ+Gs46YPFlenLNQYI7zvhPcbcLIf/sQKfqqIK5OmTiaKMP4g7R8pL8JlAn1KdQVNBXQMMf+x99r2fvZ3ENlJ00FwN2M=[/tex]就是所求问题的最大值点，即长方体的长、宽、高都为[tex=1.5x2.214]uatU4b4IxHPGlNHb5KOuU/cCjt5MQLPNyrbMCYLKamQ=[/tex]时其体积最大，且最大体积为[tex=4.071x2.357]BMI2c4IsfOLbb9K8cA7mlJ/Ce0xBV/ujoUB4hYsErGetHTYPKB2Gz9tp4D0Hh9AJ[/tex]。
举一反三
- 在半径为 [tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex] 的球内嵌入有最大体积的圆柱体.
- 求半径为 [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 的球中具有最大体积的内接长方体。
- 在半径为[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]的半球内,求体积最大的内接长方体的边长.
- 求内接于半径为[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]、圆心角为[tex=1.143x1.286]MC1XsYmMZOUQBFxDpyQseQ==[/tex]的扇形的最大矩形，此矩形的一边与扇形平分角线平行；
- 一个半径为[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]的球内有一个内接正圆锥体，问圆锥体的高和底半径成何比例时，圆锥体的体积最大？[img=155x154]178aae8625e73a4.png[/img]
内容
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计算球的体积，要使相对误差限为[tex=1.286x1.286]fLHFlO4n5NsC1PZWjExNyA==[/tex]，求度量半径[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]时允许的相对误差限是多少？
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设有一刚体,具有半径为[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]的圆柱形孔道,孔道内放置外半径为[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]而内半径为[tex=0.5x1.286]/r3Eij8VRNC5JxYjlQuXEQ==[/tex]的圆筒,圆筒受内压力为[tex=0.5x1.286]SIrTd7CGXw9GcBP//JIn6w==[/tex],试求圆简的应力。
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两个半径相等为[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]的圆柱体垂直相交，求它们公共部分的体积 .
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已知半径为[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]的圆内接矩形，问长和宽为多少时矩形的面积最大？
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设有内半径为[tex=0.5x1.286]/r3Eij8VRNC5JxYjlQuXEQ==[/tex],外半径为[tex=0.786x1.286]yokTf2U2Z7kNGUXMm22GjQ==[/tex]的圆筒受内压力[tex=0.5x1.286]SIrTd7CGXw9GcBP//JIn6w==[/tex],试求内半径和外半径的改变,并求圆简厚度的改变。