设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为环, [tex=0.5x0.786]WKYr2kz69xrVCyPvbyVG1w==[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的一个幂等元. 又令[p=align:center] [tex=20.143x1.357]1nNx0v0xahUov8iOMsbIJSTePpYEVwplkGBgTsS4c8sqIb+EnuG7ytbM1JlbstfDj0yZgartECCb5ywUL0GEWw==[/tex][p=align:center][tex=16.357x1.357]K74PCw+F0FdcOYfSdPHPtNBUkPbvTYXg6JylocAerDNeaw7pzXoIr6yj8NWIxwCw[/tex]（[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]不一定有单位元）证明:[tex=5.714x1.357]Z3oibzrlRhHqic0yqSPhvQ==[/tex]与[tex=3.786x1.357]maY8sld12/N7audyO7jvLA==[/tex]都是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的子环,且后二者还是零乘环.
举一反三
- 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为环, [tex=0.5x0.786]WKYr2kz69xrVCyPvbyVG1w==[/tex]是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的一个幂等元. 又令[p=align:center] [tex=20.143x1.357]1nNx0v0xahUov8iOMsbIJSTePpYEVwplkGBgTsS4c8sqIb+EnuG7ytbM1JlbstfDj0yZgartECCb5ywUL0GEWw==[/tex][p=align:center][tex=16.357x1.357]K74PCw+F0FdcOYfSdPHPtNBUkPbvTYXg6JylocAerDNeaw7pzXoIr6yj8NWIxwCw[/tex]（[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]不一定有单位元）证明:[tex=6.714x1.357]Bis8/eY8aphbE2JEKHudIA==[/tex]分别为环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的左、右理想.[br][/br]
- 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是一个环, [tex=2.0x1.071]oYU6699DPbu9TiKgTE5IEg==[/tex]. 证明 :[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]对以下二运算[p=align:center][tex=10.786x2.786]c8gX0O6CKBpyqTBZ2fB4Dg4OilMZFIykn6wqx26v/ft2WbzX9YovTjcJWu178wS23+g/vcBeBZVdEiFFwz2fBD3xuQjWLCCeTcojW7TB3v0=[/tex]作成一个环且与原来的环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]同构.
- 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是有单位元的整环. 证明:若 [tex=4.571x1.0]e9dgkRD4ubLrCzzjIX5OfX7A5Q7gBBke5x+UKJII8/0=[/tex], 则[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex] 有子环与[tex=0.714x1.0]A/RYZa+bKKYYpjzBS/r5ng==[/tex]同构.
- 环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中元[tex=0.5x0.786]WKYr2kz69xrVCyPvbyVG1w==[/tex]叫做幂等元, 如果[tex=2.143x1.214]zODDITGVg33rYRBP98VF/g==[/tex]. 如果[tex=0.5x0.786]WKYr2kz69xrVCyPvbyVG1w==[/tex]又属于环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的中心, 则称[tex=0.5x0.786]WKYr2kz69xrVCyPvbyVG1w==[/tex]为中心幂等元. 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是含幺环, [tex=0.5x0.786]WKYr2kz69xrVCyPvbyVG1w==[/tex]为[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的中心幂等元. 求证: [tex=1.286x1.0]74n6tKMlTkqGjOgbHLaoMQ==[/tex]和[tex=3.286x1.357]Gtj+ow6IJXfT/5Cqvn1yJw==[/tex]均是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的理想, 并且[tex=8.071x1.571]MmjD0I0GjyEBGOdUmoAh3B6xr+6qlyOK1w97+6f7Z54=[/tex].
- 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为幺环，试证明：左[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]模[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的自同态环[tex=3.429x1.214]AMahXgRvckOkvLGOzTTBuAZ2VkgS1nNjQqm8M+IVxGI=[/tex]与[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]反同构。