如果每根直线连接多边形的两个点，且位于多边形上，那么这个多边形叫凸的，证明对一切[tex=2.5x1.143]aW0W5FUAcsao0xMUkAb0BA==[/tex]，[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]边的凸多边形内角之和等于[tex=5.286x1.357]e+U/kFGOPbhFm7kz68PbrVAVyWhTl9PPGSl3N3iKb9M=[/tex]。(提示：多边形能用连结两个非邻接的顶角划分为两部分。)
举一反三
- 设[tex=2.143x1.357]WMeNa8LwDXLK3KGhkKp0ng==[/tex]是命题:对具有[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]条边的简单多边形三角化时，这些三角形中至少有一个三角形的两条边都是多边形的外部边界。证明可以用强归纳法证明更强的断言:对所有[tex=2.5x1.143]K+Swr2cA+8b62T1YU7nuOw==[/tex]， [tex=2.0x1.357]EtwvG/5SWREL7jVhXfW2NA==[/tex]为真。其中[tex=2.0x1.357]EtwvG/5SWREL7jVhXfW2NA==[/tex]是命题:对简单多边形的任何三角化时，这些三角形中至少有两个三角形的两条边都是多边形的外部边界。
- 具有[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]条边的凸多边形有多少条对角线?(如果在多边形内或边界的每两个顶点的连线完全在这个集合内，则称为凸多边形)。
- 著名的艺术馆问题是询问需要多少名保安才能看护到艺术馆的所有部分，这里艺术馆是一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]边形的边界及它所围的内部。为了更精确地描述这个问题，需要一些术语。如果线段[tex=1.071x1.0]10CFjhXoBnEL0AdeGtum/Q==[/tex]上所有的点都在[tex=1.0x1.0]VkeL+HOdxiV8suvhfDl9Ig==[/tex]边界上或[tex=1.0x1.0]VkeL+HOdxiV8suvhfDl9Ig==[/tex]内部，则称简单多边形[tex=1.0x1.0]VkeL+HOdxiV8suvhfDl9Ig==[/tex]边界上或[tex=1.0x1.0]VkeL+HOdxiV8suvhfDl9Ig==[/tex]内部的点[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]覆盖或看见[tex=1.0x1.0]VkeL+HOdxiV8suvhfDl9Ig==[/tex]边界上或[tex=1.0x1.0]VkeL+HOdxiV8suvhfDl9Ig==[/tex]内部的点[tex=0.5x1.0]iwXm0SwS+lfupyC0IyH8yQ==[/tex]。如果对于[tex=1.0x1.0]VkeL+HOdxiV8suvhfDl9Ig==[/tex]边界上或P内部的每一个点[tex=0.5x1.0]iwXm0SwS+lfupyC0IyH8yQ==[/tex]，都能够在一个点的集合中找到一个看见[tex=0.5x1.0]iwXm0SwS+lfupyC0IyH8yQ==[/tex]的点[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]，就说这个点的集合是简单多边形的看守集。把看守简单多边形[tex=1.0x1.0]VkeL+HOdxiV8suvhfDl9Ig==[/tex]所需的最少点数的看守集记为[tex=2.214x1.357]1fRd2GUvy8E36c4SipGCQQ==[/tex]。艺术馆问题求的就是一个函数[tex=1.857x1.357]2Srx0DQd0IKPCrKWeaSbrA==[/tex]，它是所有[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]个顶点的简单多边形[tex=1.0x1.0]VkeL+HOdxiV8suvhfDl9Ig==[/tex]的看守集[tex=2.214x1.357]1fRd2GUvy8E36c4SipGCQQ==[/tex]的最大值。也就是说，[tex=1.857x1.357]2Srx0DQd0IKPCrKWeaSbrA==[/tex]是一个最小的正整数，使得一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]个顶点的简单多边形[tex=1.0x1.0]VkeL+HOdxiV8suvhfDl9Ig==[/tex]保证可以被[tex=1.857x1.357]2Srx0DQd0IKPCrKWeaSbrA==[/tex]个或更少的保安看守。证明：[tex=5.714x1.357]GDqDSM85Ol82l2VvInUOccMUn2cFsa6gzPIoi0EYgcz9bJJDhkgD/7RudcyVF5ju[/tex]
- 著名的艺术馆问题是询问需要多少名保安才能看护到艺术馆的所有部分，这里艺术馆是一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]边形的边界及它所围的内部。为了更精确地描述这个问题，需要一些术语。如果线段[tex=1.071x1.0]10CFjhXoBnEL0AdeGtum/Q==[/tex]上所有的点都在[tex=1.0x1.0]VkeL+HOdxiV8suvhfDl9Ig==[/tex]边界上或[tex=1.0x1.0]VkeL+HOdxiV8suvhfDl9Ig==[/tex]内部，则称简单多边形[tex=1.0x1.0]VkeL+HOdxiV8suvhfDl9Ig==[/tex]边界上或[tex=1.0x1.0]VkeL+HOdxiV8suvhfDl9Ig==[/tex]内部的点[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]覆盖或看见[tex=1.0x1.0]VkeL+HOdxiV8suvhfDl9Ig==[/tex]边界上或[tex=1.0x1.0]VkeL+HOdxiV8suvhfDl9Ig==[/tex]内部的点[tex=0.5x1.0]iwXm0SwS+lfupyC0IyH8yQ==[/tex]。如果对于[tex=1.0x1.0]VkeL+HOdxiV8suvhfDl9Ig==[/tex]边界上或P内部的每一个点[tex=0.5x1.0]iwXm0SwS+lfupyC0IyH8yQ==[/tex]，都能够在一个点的集合中找到一个看见[tex=0.5x1.0]iwXm0SwS+lfupyC0IyH8yQ==[/tex]的点[tex=0.571x0.786]c5VsltFnl9nO0qB/vNKOWA==[/tex]，就说这个点的集合是简单多边形的看守集。把看守简单多边形[tex=1.0x1.0]VkeL+HOdxiV8suvhfDl9Ig==[/tex]所需的最少点数的看守集记为[tex=2.214x1.357]1fRd2GUvy8E36c4SipGCQQ==[/tex]。艺术馆问题求的就是一个函数[tex=1.857x1.357]2Srx0DQd0IKPCrKWeaSbrA==[/tex]，它是所有[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]个顶点的简单多边形[tex=1.0x1.0]VkeL+HOdxiV8suvhfDl9Ig==[/tex]的看守集[tex=2.214x1.357]1fRd2GUvy8E36c4SipGCQQ==[/tex]的最大值。也就是说，[tex=1.857x1.357]2Srx0DQd0IKPCrKWeaSbrA==[/tex]是一个最小的正整数，使得一个[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]个顶点的简单多边形[tex=1.0x1.0]VkeL+HOdxiV8suvhfDl9Ig==[/tex]保证可以被[tex=1.857x1.357]2Srx0DQd0IKPCrKWeaSbrA==[/tex]个或更少的保安看守。证明： [tex=3.071x1.357]C5KaEJ0nu6flx4vVSbs6Zg==[/tex]， 即所有的五边形都能够被一个点看守。
- 求数域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上的[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次多项式[tex=12.286x1.5]s7p0rTN6joblHcegHwNHkMVdUUnorocRZIOJxxBQwRrkSVjVRCs7wdGD5ZaHPcvB[/tex]，使得它的[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]个复根的[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]次幂的和等于0，其中[tex=3.214x1.143]50aB1GEaWNwSwkPtFQSAcu//eLl1yrK/BTsRvxIIlnY=[/tex]。