设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]连续，且[tex=5.786x1.286]NCwsRgbPMeUgkEDxQRD8ZQ==[/tex]，证明：在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内至少存在一点[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使得[tex=6.786x1.286]36KpimAx+1Av6w44iio0m2Fy+d6ipErpx0Qu03YI2ns=[/tex][tex=4.714x1.286]+XuHfNNSNMlA9kCS1BPNaqAiZW4OaBWqbbrE7MZHA94=[/tex]，其中[tex=0.571x1.286]QPadlhZ3vYN/Hi29gpTrFw==[/tex]，[tex=0.5x1.286]SIrTd7CGXw9GcBP//JIn6w==[/tex]为任意正常数。

2022-05-30

设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]连续，且[tex=5.786x1.286]NCwsRgbPMeUgkEDxQRD8ZQ==[/tex]，证明：在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内至少存在一点[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使得[tex=6.786x1.286]36KpimAx+1Av6w44iio0m2Fy+d6ipErpx0Qu03YI2ns=[/tex][tex=4.714x1.286]+XuHfNNSNMlA9kCS1BPNaqAiZW4OaBWqbbrE7MZHA94=[/tex]，其中[tex=0.571x1.286]QPadlhZ3vYN/Hi29gpTrFw==[/tex]，[tex=0.5x1.286]SIrTd7CGXw9GcBP//JIn6w==[/tex]为任意正常数。

答案：

证法一 令[tex=8.143x1.286]6zdkWXOY4A62ij5RI9Y71SbJgkCA5Kugk1v7SKPQVpo=[/tex][tex=6.429x1.286]2Abb/l3ll+rG75wPh/ObE6bUgOExckJ838QSLc1zIGU=[/tex]，可知[tex=2.071x1.286]QnT5Ukq2Ukk4CB2YYrq4eQ==[/tex]在[tex=1.857x1.286]0s4nJ6/AwXQXg3e9v+GisQ==[/tex]上连续，注意到[tex=7.857x1.286]cdKu+ICbm2kEufqM/wy2zUwhqvXJGR3w2UP76xyt/IQ=[/tex][tex=6.429x1.286]2Abb/l3ll+rG75wPh/ObE6bUgOExckJ838QSLc1zIGU=[/tex][tex=6.786x1.286]3no45gt0yevc1JskGtfjY26GAWNc3WBmheAsViQbX8s=[/tex]，[tex=8.0x1.286]SpFSYu5MCuXDQheZ/UTl0d7WEwPGi2Ea0/1IGMottVI=[/tex][tex=6.429x1.286]2Abb/l3ll+rG75wPh/ObE6bUgOExckJ838QSLc1zIGU=[/tex][tex=6.786x1.286]ziAjKQ5rM31EmvyDM/x26FcBBmmjixtmy/dZ7RZpuHA=[/tex]，故当[tex=6.571x1.286]e+Rm/YzEQ+LNxdGazcwFh3iK3BqbrRJwWHgo9QM6rmk=[/tex]时，可知[tex=0.5x1.286]m/VGGUpsnKNFGYXigdTc/A==[/tex]，[tex=0.571x1.286]E8TCNnEPtMKJ0mC2xxh0/Q==[/tex]均可取作[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]；而当[tex=6.571x1.286]16aVZTAD8ogOHeCVXyPI+uERvhgneQwa63ErlbBCqyY=[/tex]时，又[tex=2.357x1.286]fpBO1N01eNL+Mwbvs7E2FQ==[/tex]，[tex=2.286x1.286]XjBsIirr6pN/BYp144eoNw==[/tex]，于是有[tex=5.0x1.286]pX6Wf6RYMcZL/YaDHvOzMg==[/tex][tex=9.286x1.286]GHKLS6ZWnnm2bsFFPfr8n0rpNVVmnjkpLoMWzTt18ko=[/tex]，由零点定理可知，至少存在一点[tex=7.143x1.286]poA1Zwry4lQO1p3sL989LRpS/AvdlBBRAGQ5pXi8Uj7Bb6x0CtEftEjpkcQCDRil[/tex]，使得[tex=3.786x1.286]dUwcpVMmuacT0ierd6jwkQ==[/tex]，即[tex=6.786x1.286]36KpimAx+1Av6w44iio0m2Fy+d6ipErpx0Qu03YI2ns=[/tex][tex=4.714x1.286]+XuHfNNSNMlA9kCS1BPNaqAiZW4OaBWqbbrE7MZHA94=[/tex]。证法二 因为[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续，故[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上有最大值[tex=1.071x1.286]/vZEgalrrOYkhzS9SMg+fg==[/tex]与最小值[tex=0.857x1.286]VtHyCG+ZQg7fAIyRU+W9ow==[/tex]，且有[tex=6.429x1.286]5YwaDCkN6RL5hNjocYqZFbLTCziCCEW4ICn45N6CZdfeFvsBa04VXcP9b9RfAaMC[/tex]，由于[tex=4.429x1.286]jycLPtDIOpGRS0nxQo3pjNK/31qc8vxfVwqCcWsO3Cw=[/tex]，也有[tex=7.786x1.286]mHvELN2EiMtOLq5G58wXyP+H5GdKeaD22KHEYe4t1UEqZOcjI5jjBjJb9yegB6lJ[/tex]，[tex=7.786x1.286]Iwfps88/upJ7lJhlOmDwNzFcaxfA6f9S0PCCkam4FANvKtluhPzNPakSfU+Qm3IG[/tex]，两式相加得[tex=7.286x1.286]wlGlulwLGkizdGaWQqX4Lwg09vvBXNPEOF/nrdcaA84=[/tex][tex=8.357x1.286]am9ari3BM/QCJCCkXR5E5nVrj5MExmplAB6bDobs8Sw=[/tex]，即[tex=1.857x1.286]caBAJrfwTT8VzRfO5AxvrDtAzQut0oKMStiW/UYNRgk=[/tex][tex=8.357x2.286]pYWhOG3lVSVD9+MZ9ayoxF5hYqAIBP0nuoN1k6OV5CyHknBNoCm9Iuyx032VwW6X[/tex]，由介值定理知，在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内至少存在一点[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使得[tex=9.071x2.286]pYWhOG3lVSVD9+MZ9ayoxEaMUVFhqcsgU5meGwof955y1Vc0y5/HKuY937WSq2KI[/tex]，即[tex=6.786x1.286]36KpimAx+1Av6w44iio0m2Fy+d6ipErpx0Qu03YI2ns=[/tex][tex=4.714x1.286]+XuHfNNSNMlA9kCS1BPNaqAiZW4OaBWqbbrE7MZHA94=[/tex]。

举一反三

内容

0
设 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex], [tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex] 都在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续, 且在 [tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内可微, 又对于[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex] 内的 [tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex] 有 [tex=3.857x1.286]qn2AJfbmoLEE7Tl4Pd7PllGjDjTXiWMPwR865hJoScY=[/tex]，则在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex] 内至少存在一点[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使[tex=7.929x2.714]ao6sL/whefGaAsRSHCRhNiVXgLPr34z9bPcIDVLf6DMRHjGMXhoN6zhrAaTH3O84i7BBeG6R6i5gyw2pKK7+y/bCILss0MsxhUnAVzRFssI=[/tex]
1
设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续,在 [tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex] 内可导, [tex=3.714x1.286]c/7qSEbCZzHa0GZbNzqjfQ==[/tex], [tex=10.0x2.857]8QU3aWoJhSGnV7gONGqJzSghLQ+KEInuY2K6MnVJ+Wk5YlEQiyB8Wqv7BbxuAXo5yCzk81I8VVIfToJCJ4GmxmMLMNdMXTfhFWk0s3tSAIQ=[/tex]，试证在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内至少存在一点[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使[tex=8.5x1.286]lzQv80ZLeUASAnm5Ehn9hVJg9V+x+lqkAVSWNeYnKEvlJrsAtdq3wpYAtQsMarU6[/tex]。
2
随机变量[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]分别以概率0.4、[tex=0.571x1.286]mRKL/orzOudCEARA8qn3Kw==[/tex]、[tex=0.5x1.286]PGyKeLDo0qv9T0n29ldi6w==[/tex]和[tex=0.5x1.286]m/VGGUpsnKNFGYXigdTc/A==[/tex]取值1、2、3、4，并且[tex=3.071x1.286]fknOBgzbjEu52cPH0WBW3g==[/tex]，[tex=3.071x1.286]UAJJxdfCoB8SKuppr0cT/w==[/tex].求[tex=0.571x1.286]mRKL/orzOudCEARA8qn3Kw==[/tex]，[tex=0.5x1.286]PGyKeLDo0qv9T0n29ldi6w==[/tex]、[tex=0.5x1.286]m/VGGUpsnKNFGYXigdTc/A==[/tex]。
3
列举一个函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]满足： [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续，在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内除某一点外处处可导，但在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内不存在点[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使[tex=11.0x1.286]2xbqG656S43Gy9MVz3WEQAnKOB/CazKKW978URURTPewS/JSDBGjv9Hp9gsiAjc2[/tex]。
4
少壮不努力([tex=0.571x1.286]QPadlhZ3vYN/Hi29gpTrFw==[/tex])，老大徒伤悲([tex=0.5x1.286]SIrTd7CGXw9GcBP//JIn6w==[/tex])