设不恒为常数的函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续，在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex] 内可导，且[tex=4.857x1.286]Rkfrm+InSW0h3cu+1iG9mA==[/tex]，试证在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex] 内至少存在一点 [tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使 [tex=3.857x1.286]lzQv80ZLeUASAnm5Ehn9hY+rAdQu6nqvzbJhxnJ3MVI=[/tex]。

2022-06-10

设不恒为常数的函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续，在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex] 内可导，且[tex=4.857x1.286]Rkfrm+InSW0h3cu+1iG9mA==[/tex]，试证在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex] 内至少存在一点 [tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使 [tex=3.857x1.286]lzQv80ZLeUASAnm5Ehn9hY+rAdQu6nqvzbJhxnJ3MVI=[/tex]。

答案：

分析 依题设可知 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex] 上满足罗尔定理条件，而结论为导函数在某点处的值大于零。因此不能利用罗尔定理, 可设想，如果能利用拉格朗日中值定理 [tex=9.714x2.214]lzQv80ZLeUASAnm5Ehn9hbzgFNZC7ZKKnCukJLV7bIFpYilukf9aJg2LDyW2bDxObPZXw/gkXAJHZE3rNwzdU6L6ruZkdisRmYAtj0ACkGr4wptoEy61vsalbPGM0up0[/tex]，而[tex=6.143x1.286]rlljpUccCcuoaFY9yuBYaBgy/hyb4SyPuVI+5b7nFSwPhcxZO4+tsvkJCv+ji1Ss[/tex]与[tex=3.143x1.286]9E0u0ACKD1SFqe4pfCHHayempqebAo3MJ6a7Yxzfobs=[/tex] 同号，则命题可证。为此需构造区间。证 因为 [tex=4.857x1.286]Rkfrm+InSW0h3cu+1iG9mA==[/tex]，且 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]不为常数, 因此至少存在一点[tex=3.714x1.286]BOzpxMOaohkgFjh/Q6p6ICrf72WeREueaGYUstb9T2Q=[/tex]， 使得[tex=7.929x1.286]PfcYpAzyavC6Fqn/HAcm2rCk4GovqWL/ta6wBxDYVzY=[/tex]。不妨设 [tex=4.857x1.286]akPtEpPaNfuiQ7SA/WIv2Q==[/tex]。在 [tex=1.929x1.286]Bvx6BbqvdmFPco2h0ZyocQ==[/tex]上[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在一 点[tex=7.143x1.286]cs6vnpHTnzHZq64lX2MZ02iWowK5BIJLLztIwRSlRXqFfLcKxDWGVUzG+5LfFjsp[/tex]， 使[tex=8.357x2.071]lzQv80ZLeUASAnm5Ehn9hSkUBxwu2SszuppuWccOnLXq2pHYA8dr9DS4PdkQWmm9[/tex]。由于 [tex=4.857x1.286]akPtEpPaNfuiQ7SA/WIv2Q==[/tex], [tex=2.286x1.286]QpVBJm2S7Y4HrSuZbdYREg==[/tex], 可知[tex=3.857x1.286]lzQv80ZLeUASAnm5Ehn9hY+rAdQu6nqvzbJhxnJ3MVI=[/tex]。

举一反三

内容

0
设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]和[tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续，且[tex=4.929x1.286]xsiaWGd9YFsP34fxRlwlxtn/EsqoCCFrQJ1D5ZG+agY=[/tex]，[tex=4.714x1.286]7EnRp2L7gMyVlEGdnoQGDA==[/tex] . 试证：在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内至少存在一点[tex=0.5x1.286]m/VGGUpsnKNFGYXigdTc/A==[/tex]，使[tex=4.714x1.286]Okp8F8aIebhimp44oHT1Eg==[/tex] .
1
设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]连续，且[tex=5.786x1.286]NCwsRgbPMeUgkEDxQRD8ZQ==[/tex]，证明：在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内至少存在一点[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使得[tex=6.786x1.286]36KpimAx+1Av6w44iio0m2Fy+d6ipErpx0Qu03YI2ns=[/tex][tex=4.714x1.286]+XuHfNNSNMlA9kCS1BPNaqAiZW4OaBWqbbrE7MZHA94=[/tex]，其中[tex=0.571x1.286]QPadlhZ3vYN/Hi29gpTrFw==[/tex]，[tex=0.5x1.286]SIrTd7CGXw9GcBP//JIn6w==[/tex]为任意正常数。
2
设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续，在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内可导，且[tex=6.714x1.286]e2rQdJIDX6m4QJxK4bB8yA2e0ZugzW2OtDjTuouKEaU=[/tex]。证明：存在[tex=3.786x1.286]SbN3kpDDnb/P3zq8kyuo+NJnVohO3ICcnzxPaGrEl7c=[/tex]，使[tex=5.143x1.286]lzQv80ZLeUASAnm5Ehn9hQtomBXUBJo6Y1MmZx2MEUM=[/tex]成立。
3
设 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上可导， [tex=6.714x1.286]e2rQdJIDX6m4QJxK4bB8yA2e0ZugzW2OtDjTuouKEaU=[/tex], [tex=6.643x1.286]ow6boHTnn+TpVUKLhA+xDFr8nZxDZzzULHZWkzd1NMtYQpVUMH4PJxG7Y5bu7eV4[/tex]。试证 [tex=3.929x1.286]nOJBJucVwlQuHq02hM9TshFm+YZTv5ximTg1KFYKyjI=[/tex]在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内至少有两个不同的实根。
4
设 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex], [tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex]都在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续, 在 [tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex] 内可导, 且 [tex=3.643x1.286]uaz8rXYVotCLmTHYJ56IbcmW7FmPkvjEmuqzGG1Ei0A=[/tex], [tex=8.286x1.286]5E/wDCX/QyKVyHRnGOzM927F2eS4xiJsy17iL44kfPg=[/tex]。试证至少存在一点 [tex=3.786x1.286]SbN3kpDDnb/P3zq8kyuo+NJnVohO3ICcnzxPaGrEl7c=[/tex]，使[tex=8.857x1.286]lzQv80ZLeUASAnm5Ehn9hcLgzV7lu74/df+COnq6Ajb0QLH7pa1UWzVcjt8TpdpLM+dmFBCP5V66Cm/Uw8M5AQ==[/tex]。