试证明，在环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中，如对某两元素[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex]、[tex=0.429x1.0]JThLUuJ8WswSAPiYZWihWg==[/tex]有[tex=2.714x1.0]e5Tkis6ZqJFFkh05Fa5eXw==[/tex]，那么（1）[tex=4.571x1.214]G8LgwyeIG5Rh8byMRV1rYg==[/tex]（假定[tex=1.429x1.214]drLkwZObby+MgPbD6lCaLg==[/tex]存在）；（2）[tex=5.857x1.357]03Otkmf/H6NruAvI9Uocrw==[/tex]。
举一反三
- 计算下述[tex=1.143x1.0]oTcZ8bPOd5+p8E1UHN7wXA==[/tex]阶行列式（主对角线上元素都是[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex]，反对角线上元素都是[tex=0.429x1.0]JThLUuJ8WswSAPiYZWihWg==[/tex]，空缺处的元素为0）：[tex=14.357x7.214]BafYOyQLkfv749f2fydiSmuFaORJrmT8ZJIXGdw44f1aEpC52UG/9KaK/rVnUNciUh3QoBqaPPxfmlIg/phge+h4iq0ABGDReZk1AL0sZKzKnThLESNQm78N48nK4v5O+GmV/flx/lbKKFGOzBOQhYxNt+leiRpulVjqMeOFBfnI0RXZdSR7MVvsUvgTHcf+ugGSltGkhpnoxUoJeFlxsZdoHZzCrpQrZ4mwb1kz/X/Fqe167F6aEL+T1v5e+y8WvVKhcL8g9UtTTbtwM8lNug==[/tex]
- 设[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex],[tex=0.429x1.0]JThLUuJ8WswSAPiYZWihWg==[/tex]是整数且不全为0，而[tex=9.857x1.214]hhHzRVDsWGXE+Yltfe39hDUdsl3Yzf9jGRPDg4wYEoJYR6eBGAfms1GUG8a2PN1l[/tex]，证明[tex=0.571x1.0]TcM6B5Wrs5vy9dWrxRPSdg==[/tex]是[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex]与[tex=0.429x1.0]JThLUuJ8WswSAPiYZWihWg==[/tex]的一个最大公因数当且仅当[tex=4.214x1.357]jI1oqbiyUHYU1xbNvvBdDK5ib01K7Vb7AmVkL7RKEyk=[/tex]
- 设[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中非零元, 求证:[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex]不是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中右零因子当且仅当由等式[tex=2.714x1.0]cQ8bGb7XUhtdxYpruPVeaA==[/tex], 其中[tex=2.786x1.214]0fkbkrvGR5qxwOducNY52w==[/tex]可推出[tex=1.643x1.0]of01uYWjA++sfvelZIhdog==[/tex].
- 如果环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中元素[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex]同[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中每个元素可换,则称[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex]为环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的一个中心元素 R 的所有中心元素作成的集合叫做环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]的中心. 证明:除环的中心是一个域.[br][/br]
- 设[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex]是环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中非零元, 求证:[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex]不是[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中左零因子当且仅当由等式[tex=2.714x1.0]dA7qWlSFmphTMWDBe82bqA==[/tex], 其中[tex=2.786x1.214]0fkbkrvGR5qxwOducNY52w==[/tex]可推出b=c.