求证:任意群[tex=3.714x1.214]hgbRosf+q/qb8NbRyf4qOg==[/tex]可以表示为若干阿贝尔群的并,即[tex=3.714x1.214]hgbRosf+q/qb8NbRyf4qOg==[/tex]有若于子群[tex=4.071x1.214]h+04K4ffnvLSoNBHZLoBBA==[/tex]它们是交换群,且其载体诸S的并为G.

2022-05-30

求证:任意群[tex=3.714x1.214]hgbRosf+q/qb8NbRyf4qOg==[/tex]可以表示为若干阿贝尔群的并,即[tex=3.714x1.214]hgbRosf+q/qb8NbRyf4qOg==[/tex]有若于子群[tex=4.071x1.214]h+04K4ffnvLSoNBHZLoBBA==[/tex]它们是交换群,且其载体诸S的并为G.

答案：

对任意 [tex=2.0x1.071]vWZfluFOSO3YQwS1PayuCw==[/tex], 设[tex=3.929x1.214]NnUoui41I02c82BNpsjjOw==[/tex] 为[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex] 生成的循环群,因而[tex=3.929x1.214]NnUoui41I02c82BNpsjjOw==[/tex] 为阿贝尔群[tex=2.857x1.214]m3mid7FmuRotjRV19Gwu7pzo17PsQy73giXXeCJk350=[/tex], 从而[tex=3.857x2.714]sxchbV0T4P6dmB6YwbWGa7BYjQ/03rpxnjeMXEGy8Rl+rwQiPGw1dB0tnLotcRa1[/tex]又对任意[tex=2.0x1.071]vWZfluFOSO3YQwS1PayuCw==[/tex], 有[tex=2.214x1.214]GCrhLl9aZJQz4c42GBkfEw==[/tex], 从而 [tex=4.214x2.786]sJs8oxupTDz6aIjIQ5uiLRiteVpyvcwYLlXVg1jYA+JZMkpMBpw8UOh/J2uJmIK6[/tex]因此 [tex=4.286x2.714]Sdw3AH+jwtOZpdq7Y/EKEI6jk/UpvXbm4EzwQQHmW3AOPG5YZpchzNkj5Zho2X3o[/tex],故[tex=4.143x2.714]QXGk4PQ2KbxbxMNwI7BlrBYpCNYQG5dtnoiOFot90WA=[/tex], 这表明任意群 [tex=3.714x1.214]zcFL0FN4Uq4FZTbnR+4ccw==[/tex]可以表为若干阿贝尔群的并.

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举一反三

内容

0
设 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是群。证明:[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是交换群的充分必要条件是对任意的 [tex=7.786x1.571]eFKHPInykRsrUTRZhsgsyxVyP1D/Z2osNs6fyqWaNEIWMEGH5LziGwPHzUzf1fqSJUO9VGNj8OhakoYPrbly/Q==[/tex]。[br][/br]
1
在群[tex=5.143x1.357]En/YUkiW2GZtpZUvywdBWpyidZVoEM098fBebWI6+XQ=[/tex]中，如果对任意元素[tex=3.429x1.214]+B54GHZsifJDginvrUmiHw==[/tex]，有[tex=5.643x1.5]yQF6jW46RgBMnru+NWm2yMJsEEU1bGJyHB6h9LQQxm0=[/tex]，则[tex=5.143x1.357]kKFp5vvMsu4S7nI4haF/QZyhzlSHReEL0qLxqlFo5BjdxhrymGjowRm+3BhPqiuC[/tex]是阿贝尔群。
2
证明,一个群[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是阿贝尔群的充要条件是:对于任意[tex=2.714x1.214]sSIApBg6OzoLyhTiB5OMxw==[/tex]和任意整数[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]都有[tex=4.429x1.929]h6kzfXCttC+oUENc/9nb8U+7o+MRd9e0DHvkkhLO6BOoNkfVPtVvlb6PJRzcKGd2[/tex]
3
(1) 设 [tex=5.429x1.357]63XbrxME7juP9elO/2D+JQ==[/tex]，若 [tex=0.786x1.071]uETXff//j2ZWAWKKK/gNiw==[/tex] 为模 4 乘法，则 [tex=4.0x1.214]q/cFnDu81CSjYhqvVaqBTA==[/tex] 构成 [tex=2.143x2.429]B4WqE+eQFiKCNwO/N/0owQ==[/tex]。[br][/br](2) 若 [tex=0.786x1.071]+ua1rbfuRSTeJaPcwNcotQ==[/tex] 为模 4 加法，则 [tex=4.0x1.214]2CkZa9zWVqjf3lMBTByShQ==[/tex] 是 [tex=2.143x2.429]KDHpKKzcuy2EtVaD+Pymyg==[/tex] 阶群，且是 [tex=2.143x2.429]XwwezCNP1LdILkmSF3LLJg==[/tex] 。[tex=0.786x1.0]AE39d9jt5lmaK/QknwwnQQ==[/tex] 中的 2 阶元是 [tex=2.214x2.429]iiXg+qNsowhzqwKRHiQXSw==[/tex]，4 阶元是 [tex=2.143x2.429]+8tJcF2FvSnxyGBIO3W07A==[/tex]。供选择的答案[tex=2.143x2.429]B4WqE+eQFiKCNwO/N/0owQ==[/tex]：① 群② 半群，不是群[tex=2.143x2.429]KDHpKKzcuy2EtVaD+Pymyg==[/tex]：③ 有限④ 无限[tex=2.143x2.429]XwwezCNP1LdILkmSF3LLJg==[/tex]：⑤ Klein 四元群⑥ 置换群⑦ 循环群[tex=2.214x2.429]iiXg+qNsowhzqwKRHiQXSw==[/tex]、[tex=2.143x2.429]+8tJcF2FvSnxyGBIO3W07A==[/tex]：⑧ 0⑨ 1 和 3⑩ 2
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证明，一个群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是阿贝尔群的充要条件是：对于任意[tex=0.571x0.786]7G1MINzwputr5mgALyjQfA==[/tex]，[tex=1.929x1.071]ak856Hosixr1Yfeo8wiO7A==[/tex]和任意整数[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]，都有[tex=4.857x1.357]7GZEZ5tDqUpZ/tnPSWHv8C+DVnLq6msfRHFc4v2fAkM=[/tex]。