设Q为有理数集合，"x,y∈Q,x*y=x+y-xy。
（1） 说明*运算是否满足交换律、结合律和幂等律。
（2） 针对该运算求出单位元、零元和所有可逆元素的逆元
（1） 说明*运算是否满足交换律、结合律和幂等律。
（2） 针对该运算求出单位元、零元和所有可逆元素的逆元
(1) 满足交换律、结合律、但不满足幂等律；
这是因为 ∀x,y∈Q，x*y=x+y-xy=y+x-yx=y*x,说明*在Q中满足交换律；∀x,y,z∈Q，(x*y)*z=(x+y-xy)*z
=x+y-xy+z-(x+y-xy)z=x+(y+z-yz)+x(y+z-yz),满足结合律；
令x=2∈Q，x*x=x+x-xx=2+2-22=0,不满足幂等律。
(2) 设e为单位元， 是零元，
则∀x∈Q ，x*e=x+e-xe=x,可得(1-x)e=0, 所以e=0;x*=x+-x=,可得x=x, 故=1。
令y是x的逆元，则x*y=e=0,可得 x+y-xy=0, (x-1)y=x,故当x=1时, y不存在；
当x≠1时，y=x/(x-1)。
这是因为 ∀x,y∈Q，x*y=x+y-xy=y+x-yx=y*x,说明*在Q中满足交换律；∀x,y,z∈Q，(x*y)*z=(x+y-xy)*z
=x+y-xy+z-(x+y-xy)z=x+(y+z-yz)+x(y+z-yz),满足结合律；
令x=2∈Q，x*x=x+x-xx=2+2-22=0,不满足幂等律。
(2) 设e为单位元， 是零元，
则∀x∈Q ，x*e=x+e-xe=x,可得(1-x)e=0, 所以e=0;x*=x+-x=,可得x=x, 故=1。
令y是x的逆元，则x*y=e=0,可得 x+y-xy=0, (x-1)y=x,故当x=1时, y不存在；
当x≠1时，y=x/(x-1)。
举一反三
- 设Z是整数集合，在Z上定义二元运算如下：x * y = x + y–2，问运算有无单位元、零元？如有请求出。元素是否可逆？如可逆请求出逆元？
- 下列集合和运算是否构成代数系统?如果构成,说明该系统是否满足交换律﹑结合律.求出该运算的单位元,零元和所有可逆元素的逆元.[br][/br]有理数集[tex=6.357x2.286]XeLiwLJpTp74qeL8e1rll09Ng30JUBkD3mQ8QUNjg8skFj1mgmUeHAVSwX15V/e2[/tex][br][/br]
- 下列集合和运算是否构成代数系统?如果构成,说明该系统是否满足交换律﹑结合律.求出该运算的单位元,零元和所有可逆元素的逆元.[br][/br][tex=7.571x1.357]KYT6LCSCfcrBou8NHCjnfjsjoDpH+YsDXdv6zX0RDtM=[/tex]
- 下列集合和运算是否构成代数系统?如果构成,说明该系统是否满足交换律﹑结合律.求出该运算的单位元,零元和所有可逆元素的逆元.[br][/br][tex=12.214x1.357]v+rOmpRyCdGxEQtGcboR1l5ZyO/JlbJbqWxFKjr0Aq30HwUkKGuXcgOz3nC4uxVA[/tex]
- 设Z为整数集合，在Z上定义二元运算·，?x,y∈Z，有x·y＝x-5+y，其中+，-为普通加减法，证明：（1）运算·满足结合律，（2）运算·存在单位元，（3）Z中每个元素都有逆元。
内容
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设[tex=4.857x1.357]f4Yfw9LPqQjJBBtmnOJPRg==[/tex],运算[tex=1.929x1.429]nhrwiaYs0pZQ2bSyY+NxjQ==[/tex]如表[tex=1.286x1.0]iXBkE9IR343AutNo0apjiA==[/tex]所示,说明这些运算是否满足交换律,结合律.幂等律,消去律,求这些运算的单位元,零元、幂等元和所有可逆元素的逆元.[br][/br][img=460x122]178f7f3343f7ed4.png[/img]
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下列集合和运算是否构成代数系统?如果构成,说明该系统是否满足交换律﹑结合律.求出该运算的单位元,零元和所有可逆元素的逆元.[br][/br]自然数集[tex=5.286x1.214]ZyAWTyM+RYibF1Os+mbnXVyTe1jk8Z/uT++7c1hgsJJoSzxsTJCG5Z3cUtu9CIN4[/tex]
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设*是集合S上的可结合的二元运算,对任意x,y属于S,若x*y=y*x,则x=y.证：*满足幂等律.
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设Z为整数集合，Z上关于二元运算*定义如下：[img=8x14]17e4385aa223929.jpg[/img]x，y∈Z，x*y＝x＋y－5。则Z上的单位元e= ，元素10的逆元10-1 = 。
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设Z是整数集合,Z上的二元运算o定义为:任意x,y∈Z,x°y=x+y-2,则10的逆元为。