试证: 关于域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]的以下四个命题是等价的:(1) [tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]为代数封闭域;(2) [tex=2.0x1.357]s5rkuaa09tHVOqNEBnxxWg==[/tex]中每个次数[tex=1.571x1.143]0L5Bw3//COvp8veVtPR7WQ==[/tex]的多项式在[tex=2.0x1.357]s5rkuaa09tHVOqNEBnxxWg==[/tex]中均可表示成一些一次多项式的乘积;(3) [tex=2.0x1.357]s5rkuaa09tHVOqNEBnxxWg==[/tex]中每个次数[tex=1.571x1.143]0L5Bw3//COvp8veVtPR7WQ==[/tex]的多项式在[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]中均有根;(4) [tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]为[tex=2.0x1.357]s5rkuaa09tHVOqNEBnxxWg==[/tex]中不可约元[tex=6.929x1.357]+EH8QzD9cG76c5hDH0qOniedT9ZPwhLH1rK+d9w+2aEDDHR2fqytbOV5dlklknmz[/tex].
举一反三
- 设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是[tex=2.0x1.357]s5rkuaa09tHVOqNEBnxxWg==[/tex]中多项式, [tex=6.786x1.357]V1D753We7vezsBlKQyfrUoM0zttYEolR3mfZm8MXXEZ+VbeInoQLIy+dM4+yjhyT[/tex]. 求证存在[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]的某个扩域[tex=0.786x1.0]XvHgf70VtK2FH5G93l0k3g==[/tex], 使得[tex=5.214x1.357]hNy1FoFsKvhHWXx40djhAs2Mgin2ho0BUV/xyRC9itU=[/tex], 并且[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在[tex=2.143x1.357]vgQR2NrJ1BFQI+DA+7lW3A==[/tex]中分解成[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]个一次多项式之积.
- 举例说明：在数域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上的一元多项式环[tex=2.0x1.357]s5rkuaa09tHVOqNEBnxxWg==[/tex]中，一个不可约多项式[tex=1.857x1.357]QF8vxZyGYgv0Fua83iwDhg==[/tex]是[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的导数[tex=2.214x1.429]fse1lYAH4YL0Hqjwwm8Q7A==[/tex]的[tex=1.857x1.143]ZsB97Gn905OnGGQYNL3gPQ==[/tex]重因式[tex=3.143x1.357]PLJjeCX812uMKLNj30kMcg==[/tex]，但是[tex=1.857x1.357]QF8vxZyGYgv0Fua83iwDhg==[/tex]不是[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]重因式。
- 设[tex=2.0x1.357]s5rkuaa09tHVOqNEBnxxWg==[/tex]中[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]次多项式[tex=15.429x1.5]07ax/Xs/01ngg5bIKaxR16ZB9VQJRAHO3jweza+gU/WFGfSrVZ+Ndv8oEublbYvrZslBu41jLcasUg94aKVAdA==[/tex]的[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]个复根是[tex=5.357x1.0]245yQ+A3qAPT6fE3Y1z7MeFE12g0v34VS+RR6Z+GHuk=[/tex]，对于[tex=2.5x1.071]5kdrLd2nDHih1CL/jmGbuw==[/tex]，求数域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上以[tex=6.643x1.214]yylZOEIATVFuQzoL4OpAqpa0wMhDAYjaQRk9mH+I7GR32bx17NMNM0fNSwHtoeAH[/tex]为复根的多项式。
- 设[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]是数域，证明：在[tex=2.0x1.357]s5rkuaa09tHVOqNEBnxxWg==[/tex]中，若不可约多项式[tex=1.857x1.357]QF8vxZyGYgv0Fua83iwDhg==[/tex]是[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的导数[tex=2.214x1.429]fse1lYAH4YL0Hqjwwm8Q7A==[/tex]的[tex=1.857x1.143]ZsB97Gn905OnGGQYNL3gPQ==[/tex]重因式[tex=3.143x1.357]ns+Gfd/sDiHETPztD2JxLQ==[/tex]，并且[tex=1.857x1.357]QF8vxZyGYgv0Fua83iwDhg==[/tex]是[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的因式，则[tex=1.857x1.357]QF8vxZyGYgv0Fua83iwDhg==[/tex]是[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]重因式。
- 设[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]是数域，证明：在[tex=2.0x1.357]s5rkuaa09tHVOqNEBnxxWg==[/tex]中，不可约多项式[tex=1.857x1.357]QF8vxZyGYgv0Fua83iwDhg==[/tex]是[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]重因式[tex=3.143x1.357]ns+Gfd/sDiHETPztD2JxLQ==[/tex]的充分必要条件为：[tex=1.857x1.357]QF8vxZyGYgv0Fua83iwDhg==[/tex]是[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]，[tex=2.214x1.429]i+dnt0m+Vi0IpEF4DSu/zA==[/tex]，[tex=1.286x0.786]lRSLJav0cvc1uYdx/9plcw==[/tex]，[tex=3.786x1.571]JkJB/O5GW0XuXAqtAsnp0w==[/tex]的因式，但不是[tex=2.929x1.571]cjk0Xtxo6L3XGBCNxZt4Pg==[/tex]的因式。