设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是一个群，且[tex=3.214x1.357]QhjwzD7HQQ1PnAhiI0I/FA==[/tex]，证明：若[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中除单位元[tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex]外，其余元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无限就是一个素数.
举一反三
- 如果有限群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]有且仅有 3 个不同的子群,则[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 必为循环群,且[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的阶数为[tex=2.357x1.0]jFLnBRxb8B7Hy+eXhKLWag==[/tex] 为某 个素数.
- 设 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]到群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的同构, 证明:对于任意的[tex=7.5x1.357]ZQMpGr73vEhlsV541O4Yx72mt1UE/SKg3FK8loX/zUI=[/tex] 举例说明, 若[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]到群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的同态, 则[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]的阶与[tex=1.857x1.357]+oWS0hM0HogLU9xbRXppWQ==[/tex]的阶不一定相同.
- 设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是一个阶数大于的2群，且[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的每个元素都是满足方程[tex=2.5x1.214]HaD0b1MGUs/UDGtggZin1w==[/tex]证明：[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]必含有 4 阶子群.
- 若[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是环且[tex=3.214x1.357]YaIQvnEpkvLjpnciFF5C/g==[/tex]，有限群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的阶大于等于[tex=0.5x1.0]r0gpD7XCpZsfwi44gt1cgA==[/tex]，证明群环 [tex=2.357x1.357]R4s8KmPtyolZZPRaTS8AdQ==[/tex]有零因子。
- 若 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 中只有一个 2 阶元,则这个 2 阶元一定与 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 中所有元素可交换.