设 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]到群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的同构, 证明:对于任意的[tex=7.5x1.357]ZQMpGr73vEhlsV541O4Yx72mt1UE/SKg3FK8loX/zUI=[/tex] 举例说明, 若[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]到群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的同态, 则[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]的阶与[tex=1.857x1.357]+oWS0hM0HogLU9xbRXppWQ==[/tex]的阶不一定相同.

2022-06-19

设 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]到群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的同构, 证明:对于任意的[tex=7.5x1.357]ZQMpGr73vEhlsV541O4Yx72mt1UE/SKg3FK8loX/zUI=[/tex] 举例说明, 若[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]到群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的同态, 则[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]的阶与[tex=1.857x1.357]+oWS0hM0HogLU9xbRXppWQ==[/tex]的阶不一定相同.

答案：

证明 将群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]和群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的单位元分别记做[tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex]和[tex=0.714x1.143]1AXs4kVKe6Tuc1NLiVYFBw==[/tex].注意到根据命题 [tex=1.571x1.214]ZyNNt2XJkOmQvjTAHxNEmQ==[/tex] 我们可以断言：对于任意的正整数[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex],我们有[tex=13.5x1.429]/RPHfZ/0tnePmVgn+QLPDv1wlyEdPAdOqlWZWAsiIsvHxctq/ukELhRFSRVLPvhxqQb53HjvX9Z3PE3D8DDSWt6FgU0j352xzZ3yu7s03uZou+qkF71IgCKNVcCzchNCSzxhQw9B1F2feFQIumxegg==[/tex]由此可见, [tex=4.5x1.357]X059Np5lA5CXKIbjqs1Vsg==[/tex]假设[tex=6.929x1.429]hQnM3fp26E8VQoJVkFm2RuVPgI2beh+vH6Hicfwv6DtA108E/ick881/uY2gXcSS[/tex], 其中[tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex]为[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的单位元,[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]为[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]到[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的映射. 则 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]到[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的同态。任取[tex=2.0x1.071]vWZfluFOSO3YQwS1PayuCw==[/tex], 使得[tex=2.286x1.286]2W34nF/76KsBIeqFppdZZg==[/tex], 则[tex=8.857x1.357]RzJqtwIIJZe1UIaqADbZZ/pjpZCMkYIPSUKUchVjajo=[/tex]，从而, [tex=4.714x1.286]1D6Dim1JGkInBSXg/QRymy04opJHyZLAlM9QUo7ag68=[/tex]

举一反三

内容

0
设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]是幺环，[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是有限群，则在群环[tex=2.357x1.357]R4s8KmPtyolZZPRaTS8AdQ==[/tex]中有一子集，对于乘法为群且与[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]同构。
1
设[tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的一个子群，证明：[tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的特征子群，当且仅当对[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的每个自同构[tex=0.571x0.786]G/buLKOLYVDEKMZ76t752w==[/tex]都是[tex=3.786x1.357]/hUAIv2XJLX3YXBqW5nP/A==[/tex].
2
设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是一个群. 假设对于任意的[tex=2.0x1.071]vWZfluFOSO3YQwS1PayuCw==[/tex]都有[tex=2.214x1.214]oha7wOCx8qXgzV+bBd/Ktw==[/tex], 证明:[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是交换群.
3
设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是群,[tex=2.786x1.214]jKZpJsLsrY0OUYjZnnjH6g==[/tex] 是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的有限子群, 假设[tex=6.786x1.357]D4gw5s8KAcbDDrJsBXNrYA2hZdjmfrJUvOTfe4nOOFsIxysd+i9XkGexdPrfQxlmXpvH+iP19GloyTwhdIPkRnvvXiiAeJl6v7f9cTjWMbQ=[/tex], 证明:[tex=7.5x1.357]Gma+AqI6Zd3NCkICIkEo4VZ5BpbTXGqN6LOiiVd8Ej+g8ccDH3LQ3xKl2IKREw6grfW0+8aYsmpRDPYY/s39PvFjLQ9QMdPyFCjBwq5dr/4=[/tex]
4
假定群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的不变子群 [tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex] 的阶是 2 . 证明 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的中心包含 [tex=0.857x1.0]+NBI8Pm2vVS+bGgOpHKyOA==[/tex].