举一反三
- 在一个特征是素数 [tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex] 的无零因子的交换环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中，试证: [tex=6.357x1.357]W9sRQQRT3MyC2R8Oz3np7+gXGRH12ZZv7D6VaZnt358=[/tex][br][/br]
- 在一个特征是素数 [tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex] 的无零因子的交换环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中，试证: 对于任意非负数整数 [tex=0.929x1.0]4YXOg6rmHsFEwpxRSup8Rw==[/tex] 有 [tex=8.429x1.5]tnjPO4ZrBrIr/aVHWtBYic6kH4EvHUaSYUViidskMmjtTkP4pKqTrgYDVjVNSuLE[/tex][br][/br]
- 在一个特征是素数 [tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex] 的无零因子的交换环[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中，试证: 对于每个整数[tex=2.714x1.214]EwvNyh1iW68prwZT3epYRny0jqUZ5CelFhqnx8W4vpY=[/tex][br][/br][tex=19.643x1.571]l8OR0vrP7qKMc+BugzoeL0hw7YGGxb/5Vx5g6TpbnlqrqkYgPpV5qF65dxyxbnPe/rCiT45wQf3RPZ59zQRU9hC11JXFyKo3PSSPeivtnCFjCivd0O5NDRaF563B+jkb7R+zAaj+5qngJFw/xCOzOige8bb7oM+oi3YXX08UKdU=[/tex]
- 设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]为无零因子环 ( 未必有单位元 ) 且满足[tex=5.143x1.214]2gPPNnaIkNQoH34iScPRrLxFkfXftWe49txSULc9tDk=[/tex], 其中[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]为素数. 能否将[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]嵌到一个无零因子的含幺环[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]中, 使得[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的特征为[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]?
- 证明定理：设 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是一个有单位元的环, [tex=0.571x0.786]ZKO2xs0EgSemzoH7MSmYTA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 上的一个未定元.(1) [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的零元 0 就是[tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex]的零元 (即零多项式);(2) [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 是有单位元的环，且 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的单位元就是 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 的单位元;(3) 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是无零因子环, 则 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是无零因子环, 且 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 的单位就是[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的单位;(4) 如果 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是交换环，则 [tex=1.929x1.357]d5PlggfPq7IWhxnCFu/8ng==[/tex] 也是交换环;
内容
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设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是有单位元的整环. 证明:若 [tex=4.071x1.214]e9dgkRD4ubLrCzzjIX5OfYTkN9P1upXqByi+BV+G+gI=[/tex]([tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex] 是素数 ), 则[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]有子环与 [tex=1.071x1.286]Yf9vilsri8269WAMogYgOQ==[/tex]同构.
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设[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]是有単位元1[tex=2.214x1.286]LdfxmbZO/dkwxLsA+hGMZA==[/tex]的环，证明：[tex=0.786x1.0]as0RCzgUx1oS48cKHRAVVg==[/tex]中的可逆元不可能是零因子。
- 2
设[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 是无零因子的环,[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的子环, 且 [tex=3.286x1.357]Pd1PDhcqZGZ+SPuTqEqZBQ==[/tex] 证明: 当 [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex] 有单位元时, [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex] 的单位元就是 [tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex] 的单位元.
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设[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]是一个素数, [tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]是[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]的方幂阶的群. 试证[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的非正规子群的个数一定是[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]的倍数.
- 4
试证整环[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]中含幺元[tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex]的最小子环必与[tex=1.071x1.286]DZ7X6Hat4w0CSAjsS6ByJA==[/tex]([tex=0.571x1.0]+NxxLnTh2HAHOCSSr6dlEg==[/tex]为素数)或 [tex=0.714x1.0]oaXPjenEQATpEhakjoja5g==[/tex]同构(前一情形称[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的特征为[tex=0.571x1.0]+NxxLnTh2HAHOCSSr6dlEg==[/tex]，后一情形称[tex=0.786x1.0]AOSTmhvIsOwsdZlGoks7dg==[/tex]的特征为0)。