证明:若 [tex=3.286x1.286]plFwisVtZPVlODPC+BJHzAQquUya7LdzheOuViUCAuU=[/tex] 是有界闭域, [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 为 [tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex] 上连续函数,则 [tex=2.143x1.286]bcp+dhcbqh0yWL9HSd/UfQ==[/tex] 不仅有界(定理 16.8), 而且是闭区间.
举一反三
- 证明：若 [tex=3.286x1.286]tKC084uC8Axz1ddC7amrrUw/HqMFHp4/7qkl9HfR1rM=[/tex] 是有界闭域， [tex=0.5x1.214]xOiZa9kFnjYeHB3PTbO+3w==[/tex] 为 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex] 上连续函数，且 [tex=0.5x1.214]xOiZa9kFnjYeHB3PTbO+3w==[/tex] 不是常数函数, 则 [tex=2.143x1.357]AyaIhSqpRMrdjThSKW744A==[/tex] 不仅有界，而且是闭区间。
- 设[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex]为有界闭区间[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上的连续函数，证明：（1）存在严格单调减的多项式序列[tex=2.143x1.286]kEVamP1n+dSuT3obt6qedLSWB5FYn+OZG9N822YuJYc=[/tex]，它在[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上一致收敛于[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] . （2）存在严格单调增的多项式序列[tex=2.143x1.286]kEVamP1n+dSuT3obt6qedLSWB5FYn+OZG9N822YuJYc=[/tex]，它在[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上一致收敛于[tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] .
- 设 [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 在有界升集 [tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex] 上一致连续, 证明:(1) 可将 [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 连续延拓到 [tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex] 的边界.(2) [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 在 [tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex] 上有界.
- 在定理4中（若[tex=1.214x1.214]08SPybC/mtv7cw1bIr4cyA==[/tex]中有开区域集合[tex=0.714x1.286]07AiiwvhOcfrlOGvOwUC2g==[/tex]覆盖有界闭区域[tex=1.143x1.214]poKmZ/m/tUKy5mybedoHMA==[/tex] 则 [tex=1.643x1.357]nrjm3NsteLaMxPHyZPhIlw==[/tex]中存在有限个开区域也覆盖 [tex=0.857x1.0]PvQ1rNj9zmhWbdNmDhnQhA==[/tex]）, 将有界闭区域[tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex]换成有界开区域 [tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex]，定理 4 不成立,举例说明.
- 设二元函数 [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 在区域 [tex=7.286x1.286]DEawDCtxvKMUgntwap6boRvky2yXt94gRQyX19qGHTo=[/tex] 上连续.(1) 若在 [tex=2.143x1.286]IbSGxJCVXcmxQMs78bEk2Q==[/tex] 内有 [tex=2.786x1.286]/wtM5zB+VFAX2NiyFO+8OJMztSYCXUDt1XOZVA/6HdA=[/tex],试问 [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 在 [tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex] 上有何特性?(2) 若在 [tex=2.143x1.286]IbSGxJCVXcmxQMs78bEk2Q==[/tex] 内有 [tex=5.0x1.286]2bqhrRcL7sOLLA8bbNN1ilrOk+YdM534HOulDe99JRs=[/tex], [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 又怎样?(3)在(1) 的讨论中,关于 [tex=0.643x1.286]+RQz+inOZSqc5WvKyEpD0Q==[/tex] 在 [tex=0.857x1.286]s+r8LBAs3scxfl88DGExcg==[/tex] 上的连续性假设可否省略?长方形区域可否改为任意区域?