连续函数[tex=1.857x1.357]SZMp1ctWVBecWca4eJjcUw==[/tex]在区间[tex=6.857x1.071]jMQkrG2/F1qXd7oNSKtVJUFqBqJHYhCrp7N5lAK6RhI=[/tex]上有界，证明：方程 [tex=4.643x1.429]+ncOxcoqgI9XbdMutqEFW7CvoD9Og0jCJO672fDUOkk=[/tex]在区间[tex=6.857x1.071]jMQkrG2/F1qXd7oNSKtVJUFqBqJHYhCrp7N5lAK6RhI=[/tex]有并且只有一个有界解．试求出这个解．并进而证明：当[tex=1.857x1.357]SZMp1ctWVBecWca4eJjcUw==[/tex]还是以[tex=0.643x0.786]AXX81H1aJipmZ3Hxs77Mpw==[/tex]为周期函数时，这个解也是以[tex=0.643x0.786]AXX81H1aJipmZ3Hxs77Mpw==[/tex]为周期的周期函数.

2022-06-01

连续函数[tex=1.857x1.357]SZMp1ctWVBecWca4eJjcUw==[/tex]在区间[tex=6.857x1.071]jMQkrG2/F1qXd7oNSKtVJUFqBqJHYhCrp7N5lAK6RhI=[/tex]上有界，证明：方程 [tex=4.643x1.429]+ncOxcoqgI9XbdMutqEFW7CvoD9Og0jCJO672fDUOkk=[/tex]在区间[tex=6.857x1.071]jMQkrG2/F1qXd7oNSKtVJUFqBqJHYhCrp7N5lAK6RhI=[/tex]有并且只有一个有界解．试求出这个解．并进而证明：当[tex=1.857x1.357]SZMp1ctWVBecWca4eJjcUw==[/tex]还是以[tex=0.643x0.786]AXX81H1aJipmZ3Hxs77Mpw==[/tex]为周期函数时，这个解也是以[tex=0.643x0.786]AXX81H1aJipmZ3Hxs77Mpw==[/tex]为周期的周期函数.

答案：

证明：显然方程为一阶线性微分微分方程，由一阶线性微分微分方程解的求解公式得其 解表达式为：[tex=13.571x2.643]VK1WPsxte3t8OIKEVcKeV06TXzyRxV50CuNg4j2fIsToCTZMNyVTZxRgtP97e/wl5moQuLRbCckT8Jr3gw8tszGL66389xjHrt69dRVnX5w=[/tex][tex=10.5x2.643]UwNmfJz/NcMBiR0XOgHt1plzRZKlocmQz/8nD9uWI/wTptKMoDla94UjRGByRDky[/tex]因为[tex=1.857x1.357]SZMp1ctWVBecWca4eJjcUw==[/tex]有界，所以要使[tex=0.5x1.0]iwXm0SwS+lfupyC0IyH8yQ==[/tex]有界，当且仅当[tex=6.357x2.857]Q/R51xGsQdJlM9OmUM4n8IDYbSxZiW0wVylma9uNsko=[/tex]从而原方程的唯一有界解为[tex=33.857x2.857]YLf2MBYStEUNBwEGaTtpU43Q47jrBBPA8jZpH41i5a8//tqmnqn+SwrV8nPy0FzamnpYx1u3jXg4VaPnMsKM6E+KkH7063x8Z+Oi835nGV+JOLl52GN/KhE5EfxQFjOquffImyq5U9mo5187yo2DEzfwwwC02flVjDEPa5deYNs1FI8qgDe5Ak3bLueS75kHJP0A4MM3ad1bzPSexSIaeA==[/tex]下面说明当[tex=1.857x1.357]SZMp1ctWVBecWca4eJjcUw==[/tex]是以[tex=0.643x0.786]AXX81H1aJipmZ3Hxs77Mpw==[/tex]为周期函数时，这个解也是以[tex=0.643x0.786]AXX81H1aJipmZ3Hxs77Mpw==[/tex]为周期的周期函数．[tex=13.071x2.786]cIWAORJK5M90BFKfyRebsWIjA0BrL2bQWheiG39l9YJKUCYwieuLS6WFE9r62pe7BZ1S/OiAdyr38gaj/82RSA==[/tex]令[tex=3.071x1.071]/5vaGzHhHReFgJtU9Ed+yg==[/tex]，则[tex=32.143x2.786]cIWAORJK5M90BFKfyRebsWIjA0BrL2bQWheiG39l9YJKUCYwieuLS6WFE9r62pe7tRqDVYjlLweBPO85ZMj1UZN9Fj4gynV9Mg7GnJ3bsC9sbSOXBeZ6tpA6CvF0MUmtJ573EielBOCPevkCAQ/7jkDsZTaZ0oqW5des2c9MUqiL4PFOJ1IWLl8lxU7yoenCZqivJySZMxJBXot5lA/idQ==[/tex]所以此解为一周期函数．

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举一反三

内容

0
周期函数[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]的周期为[tex=1.071x1.0]cWYnFY7tUlCT6WhMhv7goA==[/tex]，试将f(x)展开成傅里叶级数，如果f(x)在[tex=2.929x1.357]FPqH6WHujNUJq9Xq0SIplg==[/tex]上的表达式为：[tex=3.929x1.5]wwWic7scd5c6929ljvvkuQ==[/tex][tex=7.0x1.357]Oy5aLxKJPd5t68LIQjG2E0wMwRmACKgIr/D8IhaESKI=[/tex] .
1
设h为X上函数,证明下列两个条件等价,（1）h为一单射（2）对任意X上的函数[tex=5.429x1.214]3BrfPgAFe5dbHQTMAYnbS+118W4YAj6CiW06EKMaxNI=[/tex]蕴涵[tex=1.786x1.214]pxzkG5OdsKT9CiCwC5OvPQ==[/tex]
2
证明 :若函数[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在有限或无穷的区间(a,b)内有有界的导数[tex=2.214x1.429]i+dnt0m+Vi0IpEF4DSu/zA==[/tex]则f(x)在(a,b)中一致连续.
3
证明：若函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]是以[tex=0.714x1.286]atrPPistVyxj7cY8rjePCQ==[/tex] 为周期的周期函数，则函数[tex=5.714x1.286]bLHEKlcP3CjiiEyrtL3GV2gSNSV5rJHewRzvuwtqLes=[/tex]是以[tex=3.929x2.0]+V1Z9eRTKDCYMOpGVhOrRzGiL+qMB1L3JhonNMQy3DQ=[/tex]为周期的周期函数。
4
设h为X上的函数,证明下列两个条件等价。(1)h为一满射,(2)对任意X上的函数[tex=5.429x1.214]OREhy0bsXZWZ6y8PdI7nwHYlaKprN6KYnR/FCpmEbdk=[/tex]蕴涵[tex=1.786x1.214]pxzkG5OdsKT9CiCwC5OvPQ==[/tex]