10. 设函数$f(x)$在$x=a$的某邻域内有定义，则$f(x)$在$x=a$处可导的充分必要条件是（）。
A: $\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,h(f(a+\frac{1}{h})-f(a))$存在
B: $\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(a+2h)-f(a+h)}{h}$存在
C: $\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(a)-f(a-h)}{h}$存在
D: $\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}$存在
A: $\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,h(f(a+\frac{1}{h})-f(a))$存在
B: $\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(a+2h)-f(a+h)}{h}$存在
C: $\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(a)-f(a-h)}{h}$存在
D: $\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(a+h)-f(a-h)}{h}$存在
举一反三
- 2．设$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)$存在，$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)$不存在，则( )。 A: $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,[f(x)g(x)]$ 及 $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)}{f(x)}$一定都不存在 B: $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,[f(x)g(x)]$ 及 $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)}{f(x)}$一定都存在 C: $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,[f(x)g(x)]$ 及$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(x)}{f(x)}$中恰有一个存在 D: $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,[f(x)+g(x)]$ 及 $\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,[f(x)-g(x)]$一定都不存在
- 设函数$f(x)$在$x=0$处连续，且$\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{h}^{2}})}{{{h}^{2}}}=1$，则（）。 A: $f(0)=0$且${{{f}'}_{-}}(0)$存在 B: $f(0)=1$且${{{f}'}_{-}}(0)$存在 C: $f(0)=0$且${{{f}'}_{+}}(0)$存在 D: $f(0)=1$且${{{f}'}_{+}}(0)$存在
- 设f(x)在x = a的某个领域内有定义，则f(x)在x = a处可导的一个充分条件是（ ）。 A: $\lim \limits_{h \to + \infty } h[f(a + {1 \over h}) - f(a)]$存在 B: $\lim \limits_{h \to 0} {{f(a + 2h) - f(a + h)} \over h}$存在 C: $\lim \limits_{h \to 0} {{f(a + h) - f(a - h)} \over {2h}}$ D: $\lim \limits_{h \to 0} {{f(a) - f(a - h)} \over h}$
- 5．关于函数极限，给出以下结论：① 若$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f({{x}^{2}})=A$，则$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=A$；② 若$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f({{x}^{3}})=A$，则$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=A$；③ 若$f(x)$是周期函数，且$\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=A$，则$f(x)\equiv A$；④ 若$f(x)$是周期函数，且$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=A$，则$f(x)\equiv A$。其中正确结论的编号是 A: ① ② B: ③ ④ C: ① ③ D: ② ④
- 若函数$f(x)$在点$a$处具有连续的二阶导函数，则$$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)+f(a-h)-2f(a)}{h^2}=f''(a)$$