证明：有理系数多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在有理数域上不可约的充要条件是，对任意自然数[tex=2.429x1.214]whrA0fswgExqGZH3sbR6mw==[/tex]和[tex=0.429x1.0]JThLUuJ8WswSAPiYZWihWg==[/tex]，多项式[tex=7.214x1.357]F6KQ2rAlES9L/e3AyywntQ==[/tex]在有理数域上不可约．
证:【当直接证之困难时，考虑反证法．】必要性（反证法）．假设在域[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]上[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]不可约而[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]可约，即有 [tex=12.929x1.357]8w/2FqU6lbqz4sG/2+nlDqxm6/ZjBRAq6fp/yFElND8=[/tex]其中[tex=0.857x1.0]TLkHwfyUb9FBffkskZxCFQ==[/tex]，[tex=0.857x1.0]gxj3qnnNUhsfVEf/TZoaUQ==[/tex] 是[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]上的多项式，且次数 [tex=12.571x1.357]6d7dkMIj7cTCnNr/iorZOFzkU97vNg5MN+BNBoFijSk02ClTaPWjS22/FJDFKDfK1uXyLITtZJITIqmdt0QcFdO1Gb4plAUSt5qN2Zc5qUENwqGa7IGA8dnxVBU4Y48C[/tex]在上式中以[tex=5.214x2.357]2CsuXsjLveo1Df1a90mK15AVppgJ2kLV+o25lYjpqZc=[/tex]代回,次数不会改变，有 [tex=12.143x2.214]1NQoudgcqnODVL/hI7YPDucygVWmcdpx46uMPPBhwV8A7XSV5OnkGq5OxoD8zuAm47t5m9nJ+9dCElpjBJ2wDcFs04NH7p4ERDbCV9ELiII=[/tex]这与[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]上不可约相矛盾，必要性得证．充分性（反证法）．类似上面的证法，假设[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]上可约，设 [tex=7.571x1.357]RmFSn/rSfYpJ2oiJAseurNS9b3TGTnqyRLFfeWBP2C4=[/tex],其中f[tex=0.857x1.214]MXRgUHn1t+6T+45Sr9L6Aw==[/tex]，f[tex=0.857x1.214]7KnRGT5o+qEWea/ypxkn3w==[/tex]是[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]上的多项式，且[tex=12.357x1.357]GeaWUFEwH1EgyKSxXx+EhmNDv9SSFstUOdCOguwEw/HIGcMB+tZE+FWghUQBu4oZQFBvONR+UufbJXyQwH6hJRPO9kYv+559Ie9bi0QFLBNhZDWeNjBojZXBcVI05NAE[/tex],在上式中以[tex=4.714x1.143]Z5wSHiHrghBYQ6rMh64MTw==[/tex]代入，次数不变，且有[tex=17.286x1.357]jjLHEZkujteTTpARV2B8PBKVEMYd8NInIsQbCXAgcO81bWazEvAANBy5vEPLV1iu[/tex],这与充分性假设[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]在[tex=0.857x1.214]ChdusW5rAupjge6v/DGHRA==[/tex]上不可约相矛盾，得证．
举一反三
- 设本原多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]在有理数域上不可约.证明：[tex=2.571x1.571]UU/S53EL45pPkcWa0wYy3v1aQxg6w7qjVIpTi0jOh+I=[/tex]在有理数域上可约的充分必要条件是存在整数[tex=2.286x1.214]UoJ3tEP+mDAr6ibD/4uliw==[/tex]及整系数多项式[tex=4.357x1.357]hywdrX0qIQtvlok5269Avg==[/tex]使 [tex=9.286x1.5]20cMYFvUsa77kG82bKSNIRQ0dxNe45HWIih3JNEj620=[/tex]
- 设 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 是复数域中某个数, 若 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 适合某个非零有理系数多项式 (或整系 数多项式) [tex=16.857x1.5]84e4VDcMQizbuEhyUYGO0BbQ3hSgwsxqFxv3TKY6B/83ClKlN986xEwarJDnUpXcRmDYVKafDemmqfBPM8vgsw==[/tex], 则称 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 是一个代数数. 证明:设 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 是一个 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 适合的首一有理系数多项式, 则 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 是 [tex=0.643x0.786]dFKQavWFzybe6S1GPVXNhQ==[/tex] 的极小多项式的充要条件是 [tex=1.857x1.357]fBOYuAIZ/H4m1Dx+my86tg==[/tex] 是有理数域上的不可约多项式.
- 判断下面整系数多项式在有理数域上是否不可约：[tex=7.214x1.357]4EC3wtLiWDm2hONWWNdcIJsgk12EET3fVfEqTrqgzgU=[/tex]。
- 证明：多项式 [tex=2.286x1.357]Vvyjxhe5OiAukpR2byoVCw==[/tex] 在有理数域上不可约.
- 证明多项式[tex=4.0x1.357]oo1lS5dYV0Xyj4L2WlHwbA==[/tex]在有理数域上不可约
内容
- 0
证明多项式[tex=6.357x1.357]1b83icvzn+KTRU3eM9Xf+WaIhglHHBekZZuEk45xdqo=[/tex]在有理数域上不可约
- 1
证明：次数＞０ 且首项系数为 １ 的多项式[tex=1.857x1.357]BGkv0wKMIn2R4tUsMDFEFA==[/tex]是一个不可约多项式 的充分必要条件是，对任意多项式[tex=1.857x1.357]QPi3lZKJ+q/B5QY5cuDuQg==[/tex]必有(f(x), g(x))=1，或者对某一正整数[tex=6.0x1.357]bR39wf/Hz75eMrt08Xqk8wt4bXTUCgLbWgBjqC5Zmko=[/tex]．
- 2
证明以下多项式在有理数域上不可约：[tex=4.0x1.357]oo1lS5dYV0Xyj4L2WlHwbA==[/tex]
- 3
证明下列多项式在有理数域上不可约: [tex=8.571x1.357]lkACXhBD6e1rDW4mmvMetdwuaUwOV0v5ugl01l5U554=[/tex].
- 4
证明下列多项式在有理数域上不可约:[tex=5.857x1.357]5Yjwd8KvV9I/nMZOGDK+1rlVgO0GbrooUfojmXXkvVk=[/tex].