设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是阶大于 1 的有限[tex=1.286x1.143]dfo7Luu7aP3ByE9/wuHBXw==[/tex]群. 证明: [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的中心[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]的阶大于[tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex].

2022-05-31

设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是阶大于 1 的有限[tex=1.286x1.143]dfo7Luu7aP3ByE9/wuHBXw==[/tex]群. 证明: [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的中心[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]的阶大于[tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex].

答案：

证：设 [tex=3.571x1.357]Rg3wv/jW0uWAPwHEq3qrZA==[/tex]将[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]分解为共轭元素类的并：[p=align:center][tex=18.286x1.286]pciOPRpFpPXFHxUYDfoWDIHYe+B03TWyg88FZmFRWut8GpUq0txN6GYf3M5tguRG6OobDoXUAWBWW+FOlq4Zej3nviOflDALY1Y5Smwnfy/5WKOD8QlBbs1Qy8SmbztC[/tex]其中[tex=3.714x1.357]a8zvhK62Z4SifQJNDmoBQA==[/tex]由于[tex=1.643x1.357]sqP50PpoRyzGybCuV9QNa752x4GAVPpJQ2rxU+4Gy7g=[/tex]都是[tex=1.214x1.214]KJLx+EM1joQACiFbmjb7Lg==[/tex]的因数，因此是[tex=0.5x1.0]oYgVDn+QZqcDCRxqEZwM2A==[/tex]或[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]的倍数. 但[p=align:center]  [tex=11.714x1.357]cErfaLwY3k78Q6ihr/QaCm1PAcEWPFni3tfUo5GuWxg4lSx55+MxwNv00kaADgTxr1op6mE4SkA2jv5JUHDDr+f2KMkka2/RS3jbANVlMxM=[/tex]且[tex=2.429x1.214]Xj7VJCX2HyddiYzWMDOrUQ==[/tex]，故至少还有一个[tex=0.5x0.786]U5O66aolbR1y5vuKrQbXNA==[/tex]使[tex=3.429x1.357]9Uahnn92kSCGfB+IDRSHiymeMDUCmMd+/wGDhF9OF5o=[/tex]于是[tex=1.143x1.214]KDruYVGZWM9n2i7lyfJS0A==[/tex]只含有一个元素[tex=2.357x1.214]+Mhp6WyxCgIGc6REITkfNg==[/tex]，且 [tex=2.214x1.071]Gf/1JeS+fGU40pH+yaAzsQ==[/tex]故[tex=3.143x1.357]ClU0IzHnbZ5LtF/6lNXicQ==[/tex].

举一反三

内容

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设[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的有限子群, [tex=2.786x1.357]gGafzCAY5HUDydhqr4pyuw==[/tex].假设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]只有一个阶为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]的子群, 证明：[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的正规子群.
1
设 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]到群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的同构, 证明:对于任意的[tex=7.5x1.357]ZQMpGr73vEhlsV541O4Yx72mt1UE/SKg3FK8loX/zUI=[/tex] 举例说明, 若[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]到群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的同态, 则[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]的阶与[tex=1.857x1.357]+oWS0hM0HogLU9xbRXppWQ==[/tex]的阶不一定相同.
2
设群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]只有有限个子群，证明[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]必为有限群。
3
设[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex] 为群, [tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中的 2 阶元,证明 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 中与[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]可交换的元素构成[tex=0.786x1.0]JTRtgqQ00R3dUQzwS4iwbg==[/tex]的子群.
4
设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是有限群, [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]为素数, 如果[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的每个元素的阶都是[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]的方幂, 则称[tex=0.643x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是 [tex=1.286x1.143]vikZ5IETzFUhr/XXJaCTNw==[/tex]群. 试明: [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是 [tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex] -群[tex=2.643x1.357]bMRrINhuwlMbjrHDeWypomqE0sSN5MJ+eiwzTwbj5cQ=[/tex]是[tex=0.571x1.0]FGGpnaR8m8C48rN8O0c7aw==[/tex]的一个幂.