设群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的阶为[tex=0.5x1.0]BhZ+18hz9Lz5rDhFQ34M8A==[/tex]，试证[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]或为[tex=0.5x1.0]BhZ+18hz9Lz5rDhFQ34M8A==[/tex]阶循环群或与[tex=1.0x1.214]vIC1ui1s5j6wm/e+z3rn5A==[/tex]同构。

2022-06-07

设群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的阶为[tex=0.5x1.0]BhZ+18hz9Lz5rDhFQ34M8A==[/tex]，试证[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]或为[tex=0.5x1.0]BhZ+18hz9Lz5rDhFQ34M8A==[/tex]阶循环群或与[tex=1.0x1.214]vIC1ui1s5j6wm/e+z3rn5A==[/tex]同构。

答案：

证明：分为两种情形讨论。1) 若[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中有一个[tex=0.5x1.0]BhZ+18hz9Lz5rDhFQ34M8A==[/tex]阶元[tex=0.571x0.786]7G1MINzwputr5mgALyjQfA==[/tex]，则 [tex=2.929x1.357]R69oP1O5tGxNy/rzgfmU98XoEPpo9mDykzM0s1mhLKE=[/tex]为[tex=0.5x1.0]BhZ+18hz9Lz5rDhFQ34M8A==[/tex]阶循环群。2) 设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中无[tex=0.5x1.0]BhZ+18hz9Lz5rDhFQ34M8A==[/tex]阶元，此时，[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中除幺元 [tex=0.5x0.786]rCTQ93hYjIOF3vc8FasIqg==[/tex]外的元素的阶为[tex=0.5x1.0]8C7DKsr6nhrfCdsmGxO88g==[/tex]或[tex=0.5x1.0]M62lw8bQWoUdmOUl6hezFA==[/tex]。若[tex=2.786x1.357]g6L93mhkJwRtHAoYnejchx5p4DRpLCnvDP/sWf6+JlQ=[/tex]中元素的阶全为[tex=0.5x1.0]8C7DKsr6nhrfCdsmGxO88g==[/tex]，则 [tex=2.786x1.214]RNmE5L6Y0LEildYROHLbDA==[/tex]，设[tex=4.857x1.357]Nq/vOzIANUz0vk5rFBRuP0x5r9ZHOqwke/AtYR2Qqi8=[/tex]，[tex=2.286x1.286]nBlkxrUQUEmCaFtHnGeteA==[/tex]，于是[tex=2.786x1.214]XW1j526I22d6nRYJVpWlwg==[/tex]，[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex]，[tex=0.429x1.0]JThLUuJ8WswSAPiYZWihWg==[/tex]，且[tex=9.786x1.5]6oXuC9BS2v/Eh9CKzhI3znEISBKAYgzPQv3C89UbMiRZRe/rBNmexjjyXIldgsT1[/tex]，因而[tex=2.214x1.357]khEb38x4qCHCjlD/9jpqADStuZEQ+Uho8zkmh5vzE7g=[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的[tex=0.5x1.0]2IRxdDa5OUp8cccgqlpdUA==[/tex]阶子群，这与 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的阶为[tex=0.5x1.0]BhZ+18hz9Lz5rDhFQ34M8A==[/tex]矛盾，故[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中必有[tex=0.5x1.0]M62lw8bQWoUdmOUl6hezFA==[/tex]阶元。若[tex=2.786x1.357]g6L93mhkJwRtHAoYnejchx5p4DRpLCnvDP/sWf6+JlQ=[/tex]中元素的阶全为[tex=0.5x1.0]M62lw8bQWoUdmOUl6hezFA==[/tex]，故[tex=3.214x1.214]fPwVsviGlaNUWalkoKngZQ==[/tex]，因而[tex=3.357x1.357]twgeSqP+VTUeeF0QcCSgtVIqanc84wENmLYe+Eny4Kg=[/tex]为偶数，[tex=1.357x1.357]Bii6ZD0BaRML5x2FHhnPeg==[/tex]为奇数，这也产生矛盾。总之，[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中既有[tex=0.5x1.0]M62lw8bQWoUdmOUl6hezFA==[/tex]阶元也有[tex=0.5x1.0]8C7DKsr6nhrfCdsmGxO88g==[/tex]阶元，分别设为[tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex]，[tex=0.429x1.0]JThLUuJ8WswSAPiYZWihWg==[/tex]，若[tex=2.714x1.0]cMGC082i6AJLluWfTgIbZw==[/tex]，则[tex=1.0x1.0]gYJhypvKme6HbnVYnWCsSw==[/tex]的阶为[tex=0.5x1.0]BhZ+18hz9Lz5rDhFQ34M8A==[/tex]，与 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]无[tex=0.5x1.0]BhZ+18hz9Lz5rDhFQ34M8A==[/tex]阶元的假定矛盾，因此[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是 [tex=0.5x1.0]BhZ+18hz9Lz5rDhFQ34M8A==[/tex]阶的非交换群，包含一个[tex=0.5x1.0]M62lw8bQWoUdmOUl6hezFA==[/tex]阶子群[tex=1.357x1.357]UMu6yZaqu6lAbCVsfR7R0D/z1reRdPGFA0JqGj9U7ok=[/tex]，因此[tex=4.786x1.357]VexTllEvprxFJRGOXNCJE0m9Xp+MCbgHGXwRYX1rxXc=[/tex]，所以[tex=1.357x1.357]UMu6yZaqu6lAbCVsfR7R0Gd4uDjR1gRFcqTenXrRKBI=[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的正规子群，于是[tex=10.714x1.571]cGWP0G/TxriGJg8d0zEMEjqOWaZ3ZIJQIAqI8cD2PWpF1c3/m6FxAv7tAGN9oUKeyBvLTcbSqNpVfJKvF2KVXA==[/tex]，因而[tex=3.143x1.214]t2p1kH8zJ1ui2GFaNsCbXw==[/tex]， [tex=3.143x1.214]SYkyPEWo9RjfXoUgUrPG8Q==[/tex]，进而[tex=11.214x1.571]LMU5I6Xz9SnSgyMTcMdkQRwwX1fqlfRM80IPsn3DuXI4AQs31JsDXV0aEmwRc9lh[/tex]，[tex=13.643x1.714]/jmVZRXPBRyI0B9CCF+w/5PQAppnsJH0uOYSbYL2ZYFCSWNXNVHPhNLwQGwQbyg7avSfR8r7laKsmLKRg93e2lFYu+B1e1QRtNQi4ByWqNc=[/tex]，即[tex=3.643x1.429]eiHGrcJR2ZlkTvILH17LtaHJrM8b7linrECmOnu6SV0=[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的[tex=0.5x1.0]M62lw8bQWoUdmOUl6hezFA==[/tex]个[tex=0.5x1.0]8C7DKsr6nhrfCdsmGxO88g==[/tex]阶元，故[tex=2.0x1.214]bUPo/KrmKyiFiUWcYxYWGQ==[/tex]，[tex=7.786x1.357]LP9Cu+/IrHe0yfT+jXnc/MOhlIm9EDCJDo8uTxCcs4TOml4va2H6xfanx+DSqHJeyI8pwehKpE4XvyXmTH8m2glW8XP1D4NIfgk0dNu3d+c=[/tex]，于是[tex=1.071x1.0]/jhBMBsVb31qLAQJJse7qw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]到[tex=1.0x1.214]vIC1ui1s5j6wm/e+z3rn5A==[/tex]的同态，[tex=2.5x1.0]riabBO73IF2TWq77drMDPw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的正规子群，[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]只有[tex=0.5x1.0]M62lw8bQWoUdmOUl6hezFA==[/tex]个正规子群，[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]非交换，故 [tex=4.571x1.214]g0bjapeTi/sVVL8K8ez3yCEVTHrHDWsYivIwBztkATbVAz4Y8Ktn0NLsCmrJPjnl[/tex]，若[tex=4.571x1.357]AaUYjam662VLmrpZadToU6oFRGcrJO6Jax7Gr4Ihlkg=[/tex]，则[tex=2.714x1.0]cMGC082i6AJLluWfTgIbZw==[/tex]，[tex=1.0x1.0]/73AIY1TqM522tSr5Tsu1A==[/tex]为[tex=0.5x1.0]BhZ+18hz9Lz5rDhFQ34M8A==[/tex]阶元，这是不可能的，于是[tex=4.786x1.357]uESHLnJLm6Qqxb2j2o9+FQ==[/tex]， [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]与[tex=1.0x1.214]vIC1ui1s5j6wm/e+z3rn5A==[/tex]的子群[tex=1.857x1.0]C7RxYBlq54MsEfirKTGMdA==[/tex]同构，但 [tex=3.0x1.357]pF27/97EMMbac28l01SWPQK0TokJASzS4q/FkwvNNtg=[/tex]，因此 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]与[tex=1.0x1.214]vIC1ui1s5j6wm/e+z3rn5A==[/tex]同构。

举一反三

内容

0
设群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的阶为[tex=1.071x1.0]oHmxACoVjC8Hi7auXiS4IA==[/tex]，其中，[tex=0.571x1.0]UeUhXtQk9UV0/UjLVRoyYw==[/tex]是奇数且[tex=2.357x1.071]jpXBA5S7qXgv2kNFWn4cjQ==[/tex]，试证[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]中必有指数为[tex=0.5x1.0]8C7DKsr6nhrfCdsmGxO88g==[/tex]的子群。
1
设 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]到群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的同构, 证明:对于任意的[tex=7.5x1.357]ZQMpGr73vEhlsV541O4Yx72mt1UE/SKg3FK8loX/zUI=[/tex] 举例说明, 若[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]到群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的同态, 则[tex=0.571x0.786]HXNXn3AXpwdIpZt8+6oCEw==[/tex]的阶与[tex=1.857x1.357]+oWS0hM0HogLU9xbRXppWQ==[/tex]的阶不一定相同.
2
设群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的阶为[tex=1.429x1.0]heLPB3revwsubEP2ZyLXjw==[/tex]，其中，[tex=2.357x1.0]pCnb+BRPYfnWghkhMlI/Mg==[/tex]是三个不同的素数，试证[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]为可解群。
3
设 [tex=2.786x1.357]yD5alZ3X9bU+/DKNfWUhhw==[/tex] 为 18 阶循环群. 试求出 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的全部生成元与全部子群,并证明 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的任何子群都是 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的不变子群.
4
设[tex=0.571x1.0]8Zvs4k1E3PJv6bLQN1OWcg==[/tex],[tex=0.5x1.0]BwbMcfFB7+ux6m5GcvMVvA==[/tex]是素数且[tex=2.286x1.071]bGsEjrC6qqEk3r8qGzYGDQ==[/tex]，又群[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]是[tex=0.571x1.0]8Zvs4k1E3PJv6bLQN1OWcg==[/tex]阶群，群[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]是[tex=0.5x1.0]BwbMcfFB7+ux6m5GcvMVvA==[/tex]阶群，[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]过[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]的扩张，试证：如果[tex=5.929x1.357]1uGO9Y4tOl3vBhn+zjHp1DssvQNoLxyI7z6Qgv5ngog=[/tex]，则存在[tex=0.786x1.0]b4HkKtHXeHofHX/gJc8Agg==[/tex]过[tex=0.786x1.0]sHo1pKm+gjxjcUAJjHrarQ==[/tex]的非平凡扩张[tex=0.786x1.0]4swj+MXBfXw/BCBdKDogfg==[/tex]，此时[tex=0.786x1.0]4swj+MXBfXw/BCBdKDogfg==[/tex]为非交换群。