试证整数整数加法群与偶数加法群同构,但是整数环不可能与偶数环同构。
证明:对于整数加法群[tex=2.5x1.357]n6SgzLfcyq0nPC4pYEVTQ6c5Vo+CofivdYAuPjKDmJM=[/tex],与偶数加法群[tex=3.0x1.357]b4Dw/r1E1r8a47MdVmHvkifqw0RP/3P0l1Ytb8cndJ3MX7PgQ6yvRAB5Fi3i+nmF[/tex]。令[tex=1.0x1.0]TgIH1fT3Tdp2aXDTOGKmUA==[/tex][tex=3.857x1.357]DdVEPKfMxPWGdPDk6jZIaA==[/tex],则[tex=0.714x1.0]y9ABqRCnjQW6yIa1BUBRPA==[/tex]是[tex=2.5x1.357]n6SgzLfcyq0nPC4pYEVTQ6c5Vo+CofivdYAuPjKDmJM=[/tex]到[tex=3.0x1.357]b4Dw/r1E1r8a47MdVmHvkifqw0RP/3P0l1Ytb8cndJ3MX7PgQ6yvRAB5Fi3i+nmF[/tex]的同构映射。对于整环[tex=3.214x1.357]n6SgzLfcyq0nPC4pYEVTQ3/q+/Z0pplAHYJW48rfIWiCK/3e6l91h8sfaPL8LnKO[/tex]与偶数环[tex=3.714x1.357]b4Dw/r1E1r8a47MdVmHvkgzWpX4jVxXREvn1IDLmNKjbV5T+xJJlhCjtmvFTv2hf[/tex],设[tex=0.714x1.0]y9ABqRCnjQW6yIa1BUBRPA==[/tex]是这两个环之间的同构映射,所以[tex=3.786x1.214]hgWSpsxnxXQoEbmelxn/emJEnEDGQX2gR7Ik+Ubr0IM=[/tex],有[tex=8.786x1.357]+q6jKHtU5Cc+u590694EeWFH07v8+6NHmu90wWH8MIA+CHwtRh698WOnyDFQLLVN[/tex],[tex=8.643x1.357]dNTJguQc3fLN9/jRaIq5wgYXue2LXhb0EFyK1LB8dw829n8KMXIA4BL+fTCvnQaT[/tex],故有[tex=7.5x1.357]nn0ZgJiCS7FA/n+59aXvcwt8HVD3FKneEaVzHxkKUs9TTy/S+msjbBLsJzwu8KrA[/tex],[tex=12.929x1.357]dNTJguQc3fLN9/jRaIq5wvyC1xNTO2x/m/p16p8pRkKNm1/TgdXwrw7x7lmpH0r05+POdY8RMCrXu+oyin+RkcUJhechfnLZ17xi3pLyywA=[/tex]。所以[tex=2.857x1.071]kB0ut5u7jg9O3ck27f5AAA==[/tex],有[tex=3.357x1.357]cCvjaZbflDcsOG948mm4dA==[/tex],因而对子[tex=5.429x1.143]wZmJFWz1fQJn1S1ObWlMKg==[/tex],有[tex=9.143x1.357]SjDejc3WC/M9KueaX4U89+CiwuPookdRn4H98veDR5k=[/tex],导出矛盾。因此,两者不可能同构。
举一反三
- 证明:整数加群与偶数加群同构,但整数环与偶数环不同构。
- 证明整数加法群的自同态环与整数环同构。
- 整数集对于数的加法作成一个群,称为整数加群,记为(Z,+)。偶数集2Z={2r|r∈Z}对于数的加法作成一个群,称为偶数加群,记为(2Z,+)。试建立整数加群(Z,+)到偶数加群(2Z,+)的映射f,使得f是整数加群(Z,+)到偶数加群(2Z,+)的同构映射
- 证明: 整数加群 [tex=0.714x1.0]oaXPjenEQATpEhakjoja5g==[/tex] 与偶数加群[tex=1.214x1.0]+V46ub7nxPznegKWRX7v4g==[/tex]同构。
- 证明: 整数环的不同子环不同构.
内容
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设[img=134x25]18031a6798e6e0f.png[/img],+表示整数的加法运算,则(Z, +)与(2Z,+)同构。
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设Z是整数集,+是整数加法运算,则<;Z,+>;是群,对任一整数i,其逆元是() .
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全体实数关于加法构成的群,与全体非零实数关于乘法构成的群是否同构?(证明一下) A: 同构 B: 不同构
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整数集对于加法的运算构不构成一个群( )
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证明: 整数加群[tex=0.714x1.0]oaXPjenEQATpEhakjoja5g==[/tex] 不与有理数加群 [tex=0.929x1.214]ipY8J/5IDyDdvaflKWkPEg==[/tex] 同构。