若[tex=2.643x1.143]am8134SFdqttKjHv1gTK4g==[/tex]是紧致的，则X，Y都是紧致的。
举一反三
- 如果X，Y都是可分的，证明[tex=2.643x1.143]am8134SFdqttKjHv1gTK4g==[/tex]也是可分的。
- 设A是度量空间(X,d)的紧致子集，则存在[tex=2.214x1.214]2z7HKYKqIKq8ysXEXi8N9A==[/tex]使得d(x,y)=d(x,A)
- 若仿紧空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的每一开子空间都是仿紧致的，证明[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的每一子空间都是仿紧致的。
- 按照下列步骤证明序列紧致度量空间是紧致的。1.若X是序列紧致的，则每个可数开覆盖有有限子覆盖。(a)若X是第二可数的，则X的每个开覆盖有可数子覆盖。(b)序列紧致的第二可数空间是紧致的。(c)序列紧致度量空间是第二可数的。
- 试举出两个紧致子集的交可以不是紧致子集的例子。(提示：考虑[tex=4.571x1.357]7+oGozmyJyKX+aXnVybvOt+WWZlFjQnQiFG0tvN/TC0=[/tex]，其中[tex=0.929x1.0]CsWCAOxbxbvo3bJoGMwrfw==[/tex]为实数空间，[tex=2.286x1.357]xh6luzCXZTEFghu7ZokheA==[/tex]取平庸拓扑。证明其中子集[tex=10.214x1.357]9c5ZWFWiyVuT25fLA2K9qe3AFfXUyksLrZi0QNDFvBEkspQrUBCZ1enmhke9qzwL[/tex]和子集[tex=10.214x1.357]pCWXt1Di5bCiE3ML0nCd0/c/9Y/i4iDPYs9sk88N0TSxCfZIlFOIp0mckBCf8ZIL[/tex]都是紧致的，但交不紧致。)