试举出两个紧致子集的交可以不是紧致子集的例子。(提示：考虑[tex=4.571x1.357]7+oGozmyJyKX+aXnVybvOt+WWZlFjQnQiFG0tvN/TC0=[/tex]，其中[tex=0.929x1.0]CsWCAOxbxbvo3bJoGMwrfw==[/tex]为实数空间，[tex=2.286x1.357]xh6luzCXZTEFghu7ZokheA==[/tex]取平庸拓扑。证明其中子集[tex=10.214x1.357]9c5ZWFWiyVuT25fLA2K9qe3AFfXUyksLrZi0QNDFvBEkspQrUBCZ1enmhke9qzwL[/tex]和子集[tex=10.214x1.357]pCWXt1Di5bCiE3ML0nCd0/c/9Y/i4iDPYs9sk88N0TSxCfZIlFOIp0mckBCf8ZIL[/tex]都是紧致的，但交不紧致。)
举一反三
- 设A是度量空间(X,d)的紧致子集，则存在[tex=2.214x1.214]2z7HKYKqIKq8ysXEXi8N9A==[/tex]使得d(x,y)=d(x,A)
- 若[tex=2.643x1.143]am8134SFdqttKjHv1gTK4g==[/tex]是紧致的，则X，Y都是紧致的。
- 令[tex=4.071x1.214]DaoI4syGJkcEzXKIf1y1z+uK7N569Lk1j+3a0Z0WPb8m+/JkZsBmsuKzqaBCyXFk[/tex]为以[tex=10.643x1.357]Wjf5Gq3FufUFome735HGTSqJbTuVGm/erk08yEnieys7TlM4L0kHgkgrjVUB5frLFVlqR3mU4YxhrW/kBhOPOQ==[/tex]为基的[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的拓扑。证明[tex=2.857x1.357]Ig/6B5YCU59XfmLw5qBTgqJ9dwknLkRlo9GiCHHIPBw=[/tex]是列紧空间但不是可数紧致，紧致，序列紧致空间。
- 定理(3.5)令(X,T)是紧致空间,AX是闭子集,则A是紧致子集.(紧致空间的闭子集是紧致的.)以下那句话是真的? A: (R,T5)是紧致空间 B: （,0]是 (R,T5)中的闭集 C: （,0]是 (R,T5)中的紧致集合 D: 非紧致空间的闭子集不一定是紧致的
- 设X和Y是两个拓扑空间，[tex=4.786x1.286]YTQzLz+sesI1dQ5UGt8Nb7XN1gDRtIK2HjDLwQB/utY=[/tex]是一个连续映射，证明：如果Z为X的一个连通子集，则[tex=2.071x1.286]4Z9CM7uE3guEK2sbbmjgzg==[/tex]是一个连通子集。