令[tex=4.071x1.214]DaoI4syGJkcEzXKIf1y1z+uK7N569Lk1j+3a0Z0WPb8m+/JkZsBmsuKzqaBCyXFk[/tex]为以[tex=10.643x1.357]Wjf5Gq3FufUFome735HGTSqJbTuVGm/erk08yEnieys7TlM4L0kHgkgrjVUB5frLFVlqR3mU4YxhrW/kBhOPOQ==[/tex]为基的[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的拓扑。证明[tex=2.857x1.357]Ig/6B5YCU59XfmLw5qBTgqJ9dwknLkRlo9GiCHHIPBw=[/tex]是列紧空间但不是可数紧致，紧致，序列紧致空间。
举一反三
- 设[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]和[tex=0.786x1.0]9Zhj9WJRAwEw/9RNycpEcw==[/tex]都是可数紧致空间。证明：积空间[tex=2.857x1.143]OBJvJRkGmR50oaHqcerUhA==[/tex]也是一个可数紧致空间。
- 拓扑空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]称为伪紧致的，如果对于任一连续映射[tex=6.571x1.357]QqFixYebT/bIENpOaCF+iOYIFpzQxTFHxwm4zQkZZEWoNPZ8j+8FX5pr7UM9yN0N[/tex]都是有界的。证明：度量空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]是紧致的当且仅当[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]是伪紧致的。
- 若仿紧空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的每一开子空间都是仿紧致的，证明[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的每一子空间都是仿紧致的。
- 证明拓扑空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]是紧致空间当且仅当它的加一点的紧致化[tex=1.357x1.071]dm2YcBYnrHkj1abXvcXX5Q==[/tex]中[tex=2.0x1.357]9EIvLGWT5gljrBnqKQwhIw==[/tex]是开集。
- 证明：满足[tex=1.143x1.214]R0Bx+ybSEpubLRkiLymmmA==[/tex]的可数紧致空间必为序列紧致空间。