设[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]和[tex=0.786x1.0]9Zhj9WJRAwEw/9RNycpEcw==[/tex]都是可数紧致空间。证明：积空间[tex=2.857x1.143]OBJvJRkGmR50oaHqcerUhA==[/tex]也是一个可数紧致空间。

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2022-06-01

设[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]和[tex=0.786x1.0]9Zhj9WJRAwEw/9RNycpEcw==[/tex]都是可数紧致空间。证明：积空间[tex=2.857x1.143]OBJvJRkGmR50oaHqcerUhA==[/tex]也是一个可数紧致空间。

答案：

证：设积空间[tex=2.857x1.143]OBJvJRkGmR50oaHqcerUhA==[/tex]不是可数紧致空间，得存在[tex=2.857x1.143]OBJvJRkGmR50oaHqcerUhA==[/tex]中一个非空闭集下降序列 [tex=4.0x1.571]DlF6/H2CCMyBAIXN9qFWQBrky4cCVIqwFsr/oE08/F9JZcE1B+7g6brqVCkukIsi[/tex]，有空交即[tex=5.214x1.357]SpLEf5F5JGlclarE7qsmRFwgbHKx6bTgEOIXAxJhjU0eIVBLuF+uJwJjqNYf5Eou[/tex]。设[tex=4.143x1.357]/Zh7vsxvMYGjVieeodn6eA==[/tex]是[tex=2.857x1.143]OBJvJRkGmR50oaHqcerUhA==[/tex]的第[tex=0.357x1.0]O88k7AtkDgTC9kv/8dY0lg==[/tex]个坐标投射。令[tex=5.143x1.357]6ssH953dzv7BUZNSNzYb7tnGYobXuskeV8M3H40xVuh65EN9Whk92lv5odHephmH[/tex]为[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]中的非空闭集。对任意[tex=14.214x1.5]E67TxU4cIyG31tQHdHjXyOR7EgBSQVtECzyq7vkxHExxhUTnQJUldLBqkY0r8wPliMh7p9/isBA/Wcy+hRF2h+XfJgrln8o1a6Lscg+8D1OILxFy6lC38ZXMTGge/Jce[/tex]，于是 [tex=2.286x1.357]MZoRxz5CsRaUZdsYD3uBIqqM/KCfsqFndQtZXLtCya0=[/tex]是一个非空闭集下降序列。因[tex=18.429x1.429]SpLEf5F5JGlclarE7qsmRH3KsrGHtB19dSTxZrYnYMDo4OGP7VjHH80kkcq0O0RYBzn0C+lVZfKRZQqI5uw5D5b0DO+l8+pcrwLTXIPP4TlhvDNNoBuWzR6WrXAhISrocjTULitXcCKaEtJoDB9iwAZYkEPLVlBE+qoiPRJAGf2JCxiKZNBc8oPDzWcrvGexQbOtjQTkAwqdERnVamyxig==[/tex]，与[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]是可数紧致空间矛盾。

举一反三

内容

0
证明拓扑空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]为紧致空间( Lindelöf空间)当且仅当[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的每一开覆盖[tex=1.143x1.0]ct1heifmhlRlaKf9IxeRz7R6yuvApP6hxhsdYRIkYc4=[/tex]都有一个有限(可数)开覆盖[tex=1.214x1.286]sPM8RtXRTk7w+rKWJRetiEnagVT+Guy1ESzSxGoY8B4=[/tex]是[tex=1.143x1.0]ct1heifmhlRlaKf9IxeRz7R6yuvApP6hxhsdYRIkYc4=[/tex]的加细。
1
设 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 为可分 [tex=3.214x1.0]BJ0NiZYuvBIGjRY73gw/8w==[/tex] 空间, 证明 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 中任何规范正交系至多可数集.
2
证明：满足[tex=1.143x1.214]R0Bx+ybSEpubLRkiLymmmA==[/tex]的可数紧致空间必为序列紧致空间。
3
证明拓扑空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]是紧致空间当且仅当它的加一点的紧致化[tex=1.357x1.071]dm2YcBYnrHkj1abXvcXX5Q==[/tex]中[tex=2.0x1.357]9EIvLGWT5gljrBnqKQwhIw==[/tex]是开集。
4
设[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]和[tex=0.786x1.0]9Zhj9WJRAwEw/9RNycpEcw==[/tex]是两个拓扑空间，[tex=3.929x1.214]QMdjVDLE7+KCtqQUHHExMuOahKiPzLRrtzSIbjGFDt4=[/tex]是一个连续映射。证明：如果[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]是一个可分空间。则[tex=2.143x1.357]xJaoe4pZjHAOnCWvdJIScg==[/tex]也是可分的。(这说明可分性是一个连续映射所保持的性质，并且由此可见，它是一个拓扑不变性质，可商性质。)