证明拓扑空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]是紧致空间当且仅当它的加一点的紧致化[tex=1.357x1.071]dm2YcBYnrHkj1abXvcXX5Q==[/tex]中[tex=2.0x1.357]9EIvLGWT5gljrBnqKQwhIw==[/tex]是开集。

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2022-05-27

证明拓扑空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]是紧致空间当且仅当它的加一点的紧致化[tex=1.357x1.071]dm2YcBYnrHkj1abXvcXX5Q==[/tex]中[tex=2.0x1.357]9EIvLGWT5gljrBnqKQwhIw==[/tex]是开集。

答案：

证：设[tex=3.714x1.357]e6pVAQzW0qrqHukaXUImdvaH2ZyIWfz0biRcO3CzIg2uP93r7vQCI46UBDHjDtY+[/tex]为拓扑空间[tex=3.0x1.357]W9IOAxdW5aN6v0cAEmofYBh4/FHmysoduMvfhJo+xXk=[/tex]的加一点紧致化，若[tex=2.0x1.357]9EIvLGWT5gljrBnqKQwhIw==[/tex]为开集，则[tex=5.714x1.357]i0SZy61QIg/4p7Q1ieb7hGsh6y0pp7+4IrFURQNzm4o=[/tex]为闭集，所以知[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]为紧致空间。反之，若[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]为紧致空间，所以[tex=1.143x1.286]TbG9q7YbMALk5VJO7MiDuzwrN5wrnkYPEirI1kqSkdQ=[/tex]有[tex=5.357x1.357]AxSIj3Exu/y7ZIjRLh4fMlXKCO/zoMplo3qyuxGJxToM1FOfo8VdRPydf32onKCJ7tchHVcs7o2ZQsSc90kemQ==[/tex]，所以[tex=2.0x1.357]9EIvLGWT5gljrBnqKQwhIw==[/tex]为开集。

举一反三

内容

0
令[tex=4.071x1.214]DaoI4syGJkcEzXKIf1y1z+uK7N569Lk1j+3a0Z0WPb8m+/JkZsBmsuKzqaBCyXFk[/tex]为以[tex=10.643x1.357]Wjf5Gq3FufUFome735HGTSqJbTuVGm/erk08yEnieys7TlM4L0kHgkgrjVUB5frLFVlqR3mU4YxhrW/kBhOPOQ==[/tex]为基的[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的拓扑。证明[tex=2.857x1.357]Ig/6B5YCU59XfmLw5qBTgqJ9dwknLkRlo9GiCHHIPBw=[/tex]是列紧空间但不是可数紧致，紧致，序列紧致空间。
1
拓扑空间[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]称为完全正规空间，如果对于任意[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的隔离的子集[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]，分别有[tex=2.0x1.214]vnzjVhyzo/NIhVUgFyjLlA==[/tex]的开邻域[tex=1.929x1.214]DibqKwXF5FRI3Sjw7l8BFw==[/tex]使得[tex=4.0x1.143]+cKqsXrOL8EHzUiohf2HQIyNXEIXsCVQo1bhoeZ3QmE=[/tex]。证明：拓扑空间是完全正规空间当且仅当[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]的每一子空间都是正规空间。
2
举例说明当[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]为拓扑空间，[tex=0.786x1.0]9Zhj9WJRAwEw/9RNycpEcw==[/tex]为满足第一或第二可数性公理的空间时，映射空间[tex=1.429x1.214]lx1EVEoaliACZj5tTCXYcQ==[/tex](紧致收敛的拓扑)可以不具有同一性质。
3
设[tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex]和[tex=0.857x1.286]h9C4nePGcGllh55hxKIsUw==[/tex]是两个拓扑空间。证明：[tex=3.786x1.214]QMdjVDLE7+KCtqQUHHExMk7zKkZhF2bgTbHz3S0yf+A=[/tex]是一个连续映射当且仅当[tex=5.286x1.357]QqFixYebT/bIENpOaCF+iLSwrngb6SRC2Tn5gE953Mw=[/tex]是一个连续映射。
4
设 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 为可分 [tex=3.214x1.0]BJ0NiZYuvBIGjRY73gw/8w==[/tex] 空间, 证明 [tex=0.857x1.0]KGogyvwDAIJf/iL0H/9wjg==[/tex] 中任何规范正交系至多可数集.