假设已经建立了二项式定理，使用生成函数找出[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]元素集合的[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]组合数。
举一反三
- 当[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]是正整数时，使用广义二项式定理求[tex=3.643x1.429]50OSFRcDZgOPygz2YTa5uQ==[/tex]和[tex=3.643x1.429]jTLAmJXQeJRx6xvA4FvsRA==[/tex]的生成函数。
- 证明:如果[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]和[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]是正整数，那么[tex=13.357x2.786]075gCzZzsMRb6HYXYk9X9xUXtJXa+9oaN1xhFPeyR1yTwwmZN7NnYrsr5dO8KgRE6xqYmPSSe3YCTipA1nst+r2mVlLgKAQEF3bznsHyf5Bt9SMpdsGAe6WlYwmexhDdFM+TQvuwqBXUmEaB3qN5Lg==[/tex]使用这个恒等式构造一个二项式系数的归纳定义。
- 证明如果[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]和[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]均为正整数，则有[tex=9.143x1.357]FTX4CMEGpXKH8L/m+KC8e0Z+q1G5erfMlkZawpfG1LqvQjWgN81qXdumiLAz7QW9[/tex]
- 证明如果[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]是奇数，则存在唯一的整数[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]使得[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]是[tex=1.857x1.143]e5w+BNfKI9xFH5nCChNqEw==[/tex]和[tex=2.286x1.143]6W89R+WvL61VovDfCOzxwQ==[/tex]之和。
- 证明:如果能够证明如下命题，那么就可以证明:对所有的正整数[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]和[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]，[tex=2.857x1.357]x53ByXNSe9QoR8aqSxOunQ==[/tex]为真。寸所有的正整数[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex],[tex=2.857x1.357]POAjp+5h8A3b5suxtWLtKw==[/tex]为真，且对所有的正整数[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]和[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex], [tex=7.929x1.357]0dcb1Sn642lu4eYwYSzkT1wcd9hINqToI94mijo01r8=[/tex]为真。