举一反三
- 假设已经建立了二项式定理，使用生成函数找出[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]元素集合的[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]组合数。
- 证明Euler定理:若[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]是正整数, [tex=0.571x0.786]c59+3vo0/Vn/FvNRhDRu5g==[/tex]是与[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]互素的整数,则[tex=7.786x1.571]ce4aKIu9pHkSvXKFvVcfNOHqgh5zS0nNv2n4aOwxc08=[/tex],其中[tex=2.071x1.357]Q3CGpDoBA3UwvlngA8cIKQ==[/tex]是Euler函数,即[tex=2.071x1.357]Q3CGpDoBA3UwvlngA8cIKQ==[/tex]是与[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]互素的不超过[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]的正整数的个数.特别地,若[tex=0.571x1.0]QcnBkHbntawstmyl7KNMng==[/tex]是素数,则得到Fermat小定理:[tex=9.571x1.357]Y/31J0hc9a+5psX24upYCFSIeVfdzK03heOLofcmTZKmb0bgJY4PHbSBfj2fYuvYS6sPm4L9LmIJvnb3w1q1Qg==[/tex].
- 给出当[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]和[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]都是正整数时，求[tex=4.357x1.0]i7iOlTWM8DejLiB2FH7YuIaa5QLuIgGuLfpjfpZXt+E=[/tex]的递归算法。
- 证明如果[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]是正整数，则[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]是奇数当且仅当[tex=2.429x1.143]tskx3yX0bdwl5Z0zahgdLw==[/tex]是奇数。
- 设[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]是正整数。证明:在任意一组[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]个连续的正整数中恰好有1个被[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]整除。
内容
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证明:当[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]是正整数时，有[tex=20.643x1.5]xBNEa6lZHjzFM7nndj52iMnP2wRS8kaUB8kfrRP/igFE4vlruyQJs++AfnJCI6n7126kFQGWiaJawwQ9EpZCYvccLRbfs4HxIY9O4RRsNEKXtmmTHxXu25NHKgy+BImM[/tex]
- 1
证明:如果[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]和[tex=0.571x1.0]CQkpoDeAAI+5FKIfe1wVCA==[/tex]是正整数，那么[tex=13.357x2.786]075gCzZzsMRb6HYXYk9X9xUXtJXa+9oaN1xhFPeyR1yTwwmZN7NnYrsr5dO8KgRE6xqYmPSSe3YCTipA1nst+r2mVlLgKAQEF3bznsHyf5Bt9SMpdsGAe6WlYwmexhDdFM+TQvuwqBXUmEaB3qN5Lg==[/tex]使用这个恒等式构造一个二项式系数的归纳定义。
- 2
从[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]元素集合到[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]元素集合有多少个部分函数?这里的[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]和[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]是正整数。
- 3
令[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]和[tex=0.571x1.0]TcM6B5Wrs5vy9dWrxRPSdg==[/tex]为正整数。不超过[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]的正整数中有多少个能被[tex=0.571x1.0]TcM6B5Wrs5vy9dWrxRPSdg==[/tex]整除?
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使用生成函数证明范德蒙恒等式：[tex=14.857x3.286]hDB3eLQPiWWd9ft+Q14eoJVcUCay0ClzWlPckFv+3/imTEddfU462KDq1s/vFmay[/tex]，其中[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]、[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]和[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]是非负整数，且[tex=0.5x0.786]Tg0I1PUwmDJ7uXa9+yiYMA==[/tex]不超过[tex=0.929x0.786]D9maNLyVVGrC3QbL9jjRWg==[/tex]或[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]。