设 [tex=0.5x1.0]wPh71/L+tm8emC/JD+8oZg==[/tex] 是群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的固定元素，[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的子群。证明群[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]与群 [tex=2.786x1.429]B9dTMVNvhdNezOzLQcorYw==[/tex]同构。

2022-06-11

设 [tex=0.5x1.0]wPh71/L+tm8emC/JD+8oZg==[/tex] 是群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的固定元素，[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的子群。证明群[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]与群 [tex=2.786x1.429]B9dTMVNvhdNezOzLQcorYw==[/tex]同构。

答案：

 证明    令[p=align:center][tex=6.714x1.429]bGN68TH9eepSNzlffHO4PtiEbZfpw9kZ6zKdn4/KR5whSN/XlOc/5UPsxiBsvOLk[/tex][p=align:center][tex=5.214x1.286]vfeF77ODAYIW5FL6LtlykqABxQmArYkNEaNgQw6Rifs=[/tex](1) 显然，[tex=0.643x1.214]4ssBDc1re7hhNB3dpzYmRg==[/tex] 为[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 到 [tex=2.786x1.429]B9dTMVNvhdNezOzLQcorYw==[/tex] 的一个映射。(2) 设 [tex=3.143x1.214]yfX6wAxjbc/r7ZA9sC/sKg==[/tex]如果 [tex=4.929x1.357]vblcNi3DygYxcuitbYWVHNQw6svznln1vHm0hGCz7Ig=[/tex] 即 [tex=6.0x1.429]AZ2CncUaxtoCBCTPQnSSDQyCGPtWTfhU70zmsvBfokI=[/tex]则[tex=2.143x1.0]D84Zjw/Op7jqx/fcPK+zQw==[/tex]所以 [tex=0.643x1.214]4ssBDc1re7hhNB3dpzYmRg==[/tex] 为[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 到 [tex=2.786x1.429]B9dTMVNvhdNezOzLQcorYw==[/tex] 的单映射。(3) 对任意的[tex=4.286x1.429]v/GyhuHIRHb+RGmZBKIAWFhV/djqdFtaAD/4dxaA/P0=[/tex]有[tex=5.571x1.429]3SuO9rEVhtHKriQGTIKp8vnxosAjXP6xVX0wodVFAaA=[/tex] 使[p=align:center][tex=12.857x1.571]LQuh4iBSNJHqPVZhlSfoDeZSJgnEANqrnkkITAyNGiGl3tlSWBhUoEkxzFJI+361xGkpQwCKqyqhx1ydrDpHAQ==[/tex]所以 [tex=0.643x1.214]4ssBDc1re7hhNB3dpzYmRg==[/tex] 为 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 到 [tex=2.786x1.429]B9dTMVNvhdNezOzLQcorYw==[/tex] 的满映射。(4) 对任意的[tex=3.143x1.214]yfX6wAxjbc/r7ZA9sC/sKg==[/tex] 有[p=align:center][tex=19.643x1.571]pk36vDEN8ZBoe8atWqmHrtSzwJ6a5ozAYOAkjR+p+fz5C2ecoVkck2sOMbxX2bCcU60bMSKiE/cXR/Q5qHZrpNqPA9IlbMPEM9LbU97sGgSVT45UkPtYweOCPEEaX5Rq[/tex]所以  [tex=0.643x1.214]4ssBDc1re7hhNB3dpzYmRg==[/tex] 为 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 到 [tex=2.786x1.429]B9dTMVNvhdNezOzLQcorYw==[/tex] 的同构映射，即[p=align:center][tex=7.429x1.571]PVmOhAepy0Ricoy/8bmW8mKbIoykYNydKvFhhR0kKlrNy4G2gjmon8uNHcOeaHzi[/tex]

举一反三

内容

0
设[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的有限子群, [tex=2.786x1.357]gGafzCAY5HUDydhqr4pyuw==[/tex].假设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]只有一个阶为[tex=0.643x0.786]/he/ol8BkDuTTL9yMPtH4Q==[/tex]的子群, 证明：[tex=0.857x1.0]h610M+sGyf59WggKwaDo1Q==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的正规子群.
1
设[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]是群[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的一个非空子集，且[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]中每个元素的阶都有限. 证明[tex=3.0x1.143]Y4KThpboUkwolMqAX9epwA==[/tex]当且仅当[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]对[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的乘法封闭.
2
4. 设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]是交换群, [tex=2.5x1.071]158MTjYs71c+Of+LNCChAQ==[/tex]为整数, 令[tex=8.429x1.357]lu3Yw5dE2d5ihTpR/t9E++lDTZ8qQN724NVjic7baRKYfbXdS1q3daQ14LgXMN/U[/tex], 证明:[tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex]是[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的子群.
3
设[tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 是交换群，[tex=0.929x0.786]VF0GLe2VBE/4VKNzpyOfFg==[/tex] 是固定的整数. 令[p=align:center][tex=8.071x1.357]9FZ+vQt6dGIaJjYiB5Gbg3UMXrvnM3rdoD5gcMfpcwPJKxxrBLj1nRLbSSioWh0T[/tex]证明: [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的子群。
4
设 [tex=0.857x1.0]aPLFPHMGSKDwulHSwLWugg==[/tex] 是群 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex]的子群。证明: 对任意的[tex=2.214x1.214]0WCgI4jFSd+EieBjN1GRQw==[/tex] 集合[p=align:center][tex=10.286x1.571]t+aPDzqN/g0SVlY2BoF7BzQr9jAmILOKThunRonOjFykRD5WIsUJq1mzTAa8HZrPUrIYOjVoKoOZzSOM0yprSw==[/tex]是 [tex=0.786x1.0]LyvDGollVJ+xwurtsLcn0g==[/tex] 的子群。