设函数f（x）在[a，b]上连续，且在（a，b）内有f′（x）＞0，证明：在（a，b）内存在唯一的一点ξ，使得（ξ-a）f（ξ）-∫ξaf（x）dx=3∫bξf（x）dx-3（b-ξ）f（ξ）．
证明：设F（x）=（x-a）f（x）-∫xaf(t)dt-3∫bxf(t)dt+3（b-x）f（x），则F（x）在[a，b]上连续，且在（a，b）内可导．因为f′（x）＞0，故f（a）＜f（x）＜f（b）（a＜x＜b），从而，F（a）=-3∫baf(t)dt+3（b-a）f（a）＜0，F（b）=（b-a）f（b）-∫baf(t)dt＞0．利用连续函数的零点存在定理可得，∃ξ∈（a，b），使得F（ξ）=0，即：（ξ-a）f（ξ）-∫ξaf（x）dx=3∫bξf（x）dx-3（b-ξ）f（ξ）．又因为∀x∈（a，b），F′（x）=（x-a）f′（x）+f（x）-f（x）+3f（x）+3（b-x）f′（x）-3f（x）=（3b-a-2x）f′（x）＞（b-a）f′（x）＞0，故ξ是唯一存在的．
举一反三
- 设f(x)在[a,b]上连续，且f(x)不恒等于零，证明∫(a,b)[f(x)]²dx＞0
- 设函数f(x)在对称区间【-a,a】上连续,证明∫(-a,a)f(x)dx=∫(0,a)[f(x)+f(-x)]dx
- 设f(X)及g(X)在[a，b]上连续(a＜b)，证明：（1）若在[a,b]上f(x)>=0,且∫f(x)dx=0,则在[a,b]上f(x)恒等于0（2）若在[a,b]上f(x)>=g(x),且∫f(x)dx=∫g(x)dx,则在[a,b]上f(x)恒等于g(x)
- 设ab＞0，f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，证明：存在ε∈(a，b)，使得设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内连续可导，x。∈(a，b)是f(x)的唯一驻点．若f(x。)是极小值，证明：x∈(a，x。)时，fˊ(x)＜0；x∈(x。，b)时，fˊ(x)＞0
- 设$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$\int_a^bf(x)dx=0$，则在$[a,b]$上， A: $f(x)\equiv 0$ B: 必存在$\xi$，使得$f(\xi)=0$ C: 必有唯一的$\xi$，使得$f(\xi)=0$ D: 不一定存在$\xi$，使得$f(\xi)=0$
内容
- 0
设f（x）在[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上的平均值是（ ） A: f(a)+f(b)2 B: ∫baf（x）dx C: 12∫baf（x）dx D: 1b-a∫baf（x）dx
- 1
设函数f(x)在(-∞，+∞)上连续，则d∫f(x)dx等于______． A: f(x) B: f(x)dx C: f(x)+C D: f’(x)dx
- 2
设f（x），f′（x）在[a，b]上连续，f″（x）在（a，b）内存在，f（a）＝f（b）＝0，且存在c∈（a，b）使f（c）＞0。证明：必∃ξ∈（a，b）使f″（ξ）＜0。
- 3
设函数f(x)在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则必定存在一点ξ∈(a，b)使得()。 A: f(ξ)>0 B: f(ξ)＜0 C: f(ξ)=0 D: f(ξ)=0
- 4
下列命题 ①设∫f(x)dx=F(x)+C，则对任意函数g(x)，有∫f[g(x)]dx=F[g(x)]+C ②设函数f(x)在某区间上连续、可导，且f’(x)≠0．又f-1(x)是其反函数，且∫f(x)dx=F(x)+C，则 ∫f-1(x)dx=xf-1(x)-F[f-1(x)]+C ③设∫f(x)dx=F(x)+C，x∈(-∞，+∞)，常数a≠0，则∫f(ax)dx=F(ax)+C． ④设∫f(x)dx=F(x)+C，x∈(-∞，+∞)，则 中正确的是 A: ①、③． B: ①、④． C: ②、③． D: ②、④．