假定[tex=0.786x1.286]idFowbYy18dnAiDpSURrJA==[/tex]是曲面[tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex]上的保长变换构成的变换群,并且保持曲面[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]上的一条[tex=0.714x1.0]J/aA9EEo0KmJFnWWfX7LmQ==[/tex]不变. 证明:如果[tex=0.857x1.0]LLLZ1Q76g93wjpcfDoZmPg==[/tex]限制在[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]上的作用是传递的,则曲线 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]的测地曲率必为常数.
举一反三
- 假定曲面[tex=1.0x1.214]hw4MAoLH+ywUs37rYsY+9g==[/tex]和[tex=1.0x1.214]mCBJKK67lwY/CXys3aGQJQ==[/tex]沿曲线[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]相切,证明:若 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]是[tex=1.0x1.214]hw4MAoLH+ywUs37rYsY+9g==[/tex]上的测地线,则 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]也必定是[tex=1.0x1.214]mCBJKK67lwY/CXys3aGQJQ==[/tex]上的测地线.如果[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]是 [tex=1.0x1.214]hw4MAoLH+ywUs37rYsY+9g==[/tex]上的曲率线或渐进曲线,又如何?
- 曲面 [tex=5.429x1.357]Lg5Phrk4fm+3iA/jXTdBAA==[/tex] 上的一条曲线 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 称为曲率线，如果曲线 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 在每一点的切向量都是曲面 [tex=0.643x1.0]jLbabU9pW65GUKemsNBJWw==[/tex] 在该点的一个主方向. 证明: 曲线 [tex=8.929x1.357]rWwQlBxD3aXQXZiWg+hy0sodtqTCBTrdUmHz31xydaU=[/tex] 是曲率线当且仅当沿着 [tex=2.643x2.429]GF4qzg9/Su8+nYXFNMI9yv6KkBP0vaXvxssi2KGGaM4=[/tex]与 [tex=1.214x2.429]Urrn5wfTdykIP5J7P3smyE15KoH6F71sdbyLIUJo+Jg=[/tex] 平行.
- 设曲线[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]是旋转面[tex=14.929x1.357]qJtg9UpQ2uL0/hPbUJ0vjiyMbrbbwyvqiTvo07flICazGIeDUMqEcU6spIqoRkqkk2F+XYzcizR2GopzPZbymQ==[/tex]上的一条测地线,用[tex=0.5x1.0]qm+hGi0qngLh1B7HsENMPg==[/tex]表示曲线[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]与经线的交角.证明: 沿测地线[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]成立恒等式[tex=4.929x1.357]vSqvzw60iKi7HLOEhjEdPF3+iXhXciqaql3AxPfnuYI=[/tex]常数.
- 设 [tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex] 为一简单闭曲线,[tex=1.786x1.357]GYJ7X7XJijqizBuSGMrl3g==[/tex]与[tex=1.786x1.357]q7S+DkUP+kHN4l0TDsnqnA==[/tex]在[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]内部及[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]上解析,并且在[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]上有 [tex=4.286x1.357]HmaFCIhDwqteOxrMRU/E3w==[/tex],那么在[tex=0.714x1.0]YiLkHgl7MlxE+QjUplQUKA==[/tex]内必有[tex=4.286x1.357]HmaFCIhDwqteOxrMRU/E3w==[/tex].
- 设光滑闭曲线[tex=0.714x1.0]ravtxd2oof9d0U26ZFAIhw==[/tex]在光滑曲面[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]上，[tex=0.643x1.0]fYkALuFzYlFm0R716i1EGA==[/tex]的方程为[tex=3.857x1.357]6gBL8XRKNL/Ag/qq8drsnQ==[/tex]，曲线[tex=0.714x1.0]ravtxd2oof9d0U26ZFAIhw==[/tex]在[tex=1.714x1.286]ZG2RqqBPZVx6nZ1bss/ibw==[/tex]面上的投影曲线为[tex=0.357x1.0]5vVfAZliYwqMw8JaLE+iEA==[/tex]，函数[tex=3.929x1.286]TfP0AvWH9xX3eQxL6VXVOg==[/tex]在[tex=0.714x1.286]LA74ioWWkXdGbHCtFk/Sog==[/tex]上连续，证明[tex=15.714x2.214]SGsCThUJOGGmVKuOABq75C/WOwwuG8069nlt2dHxK9E+Ky3o+bjG7R2/ZDJ5fQjVsdWoDl/8jWJHZkxsGqB2dA==[/tex]。