证明可测集 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 上的连续函数[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是可测函数.

2022-06-15

证明可测集 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 上的连续函数[tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是可测函数.

答案：

设 [tex=0.429x0.929]gQzDwVIykgengUJAyMAHkQ==[/tex] 是任意实数, [tex=9.0x1.357]sKPBV8Z6qTXg4dKPJks7idOioWOd/0/9d8tUvshkk1L3U0w4Mfi9NvzMCYBu1cAj[/tex],即 [tex=2.357x1.214]24l32ew7DYupD1EtH9RxoQ==[/tex] 且 [tex=6.571x1.357]5s1Pyp2g/W5DyoDffIRFvFjGA5ex1/VCeXsLch3FV6A6suu8RZIDlgenqYuo34Sz[/tex]. 由 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 的连续性 知,存在 [tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex] 的邻域 [tex=3.571x1.357]2eD4w7kHPxajEU+Ck5sRhODH4i9dmg9MVdPbehYCoyE=[/tex],[tex=2.929x1.357]EasFz/lciGXwUSKsThpVwYn3iQ8fmNCuBCrz0SciWx0=[/tex] 使得[tex=6.714x1.357]WEUcYunltZ/gs1Luwj8PnLDngHuus6PF3PuDwN/8bcqBEgCTcXJpB1dbHLt/wwr2[/tex] 时 [tex=5.929x1.357]GgEMGTbAvsX5EIv1LRBsFZT9Tld/mso8rHsEz+lPJPA=[/tex], 即 [tex=14.143x1.357]TfpvBlM1StQkct9gcZuYIdos2P0SeC3Q1NTBMFH8eqZOqH3hPHPCR2RIljszFjGFB/XxiMSBquDjW1TgpDckNZ33zlxK4Xgn0rNo6FOntJo=[/tex]考察当 [tex=0.929x1.0]mQGdf3XTfQx0Qped0rrM9g==[/tex] 在[tex=7.357x1.357]ILVUVKXaGHnqnqXPv4gAkkyQInh6vymrtX8tUOjgBEo=[/tex] 中变动时满足上述关系的 [tex=3.571x1.357]2eD4w7kHPxajEU+Ck5sRhODH4i9dmg9MVdPbehYCoyE=[/tex] 全体,并作它们的并集 [tex=22.786x1.357]esUrvCHTdstCynfiNvirHjVBEKFptQWiWI51a2zTFD4wQigFj2MHuYUe1EsvS57trORtSE9jnYRPKq8F7xw/rc4Lup40Thr3Xki7grMkQUoSz4JQi5X337I+CSlqbnEc[/tex]由于 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex] 是一族开集的并集,故 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex] 是开集,所以是可测集. 又由 [tex=0.857x1.214]to/MrMoO1ux8UhZHnpEvBg==[/tex] 的构成知, [tex=10.786x1.357]ILVUVKXaGHnqnqXPv4gAkrGzJhV8oysvQuckAfQ/n6/y4u7R7ddUUAa5xc8UC5bz[/tex],即 [tex=7.357x1.357]ILVUVKXaGHnqnqXPv4gAkkyQInh6vymrtX8tUOjgBEo=[/tex] 是两个可测集的交,故是可测集,从而得知是可测函数.

举一反三

内容

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证明定义在勒贝格测度为零的集上的函数 [tex=0.5x1.214]gNOHIx2AGu3qP//Yn7oxrg==[/tex] 是可测函数.
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设[tex=0.857x1.214]6tsj+unAQKUtGD5tL7ewDA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上的可测函数，证明: [tex=2.786x1.214]C/U6swDOKzNEB37J11MOyhRCGG6FrZ3DymJMzGPDiPc=[/tex]，[tex=7.071x1.357]kQiu7Ne0k8USMof0XVVzL0xJPFQmAJn46eW3GPuFNwM=[/tex]是可测集.
2
设[tex=0.857x1.214]6tsj+unAQKUtGD5tL7ewDA==[/tex]是[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上的函数，证明: [tex=0.857x1.214]6tsj+unAQKUtGD5tL7ewDA==[/tex]在[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上的可测当且仅当对一切有理数[tex=0.5x0.786]51EIYuoXo3UTYashe96uEQ==[/tex]，[tex=7.571x1.357]J40NUMj31BesXCdVzyyGwmPUdeytQoo1BIdzDHwhKqs=[/tex]是可测集.
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设[tex=0.857x1.214]jRMcFkcgjPHPDQtqH8URqw==[/tex]是[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上的可测函数，证明：对[tex=1.0x1.143]vL/JscKF18qJf47ozsjQEQ==[/tex]上的任意开集[tex=0.786x1.0]YEkxBRWVe8SyiK/VG6WTCQ==[/tex]， [tex=3.071x1.5]Af4uha/aqHAPV1d+fF1rKw==[/tex]是可测集
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证明：若函数[tex=0.643x1.286]yDeddh0uuIG4+CMuFZqEpw==[/tex]在可测集[tex=0.786x1.286]YggwMQ4w3PxfhkmL0NfgdQ==[/tex]上可测，则[tex=1.0x1.286]Il4+Q813I9q8yQmyNS/9CA==[/tex]在[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上也可测，反之亦真