证明：与所有矩阵可交换的矩阵只能是标量矩阵。
证明：显然标量矩阵与所有矩阵可交换。设[tex=0.786x1.286]q1djlrfSWHAqH21hBgtrSw==[/tex]与所有矩阵可交换，则易知[tex=8.786x1.357]CtkP8yXIJIZY0v8P/DGs5XW5z4kI1huZZz28P0dXbYRjEenw050kk62uhKe8JYu1KPOZInlb5SreBcSa5+X/Zg==[/tex]。又对任意的[tex=2.071x1.286]HqhDd2wdaxOKE+udvp4uPw==[/tex]有[tex=5.714x1.286]PAwmKPFQbc7pNfhE4ZfpJj+s4t6y1iuLyH1OVRjwnk4=[/tex]，因此对[tex=2.071x1.286]HqhDd2wdaxOKE+udvp4uPw==[/tex]有[tex=2.857x1.286]KDI4hy71TtaoX/IYiXb1lhgDFQSbA+AlZ9LcqZw+gfk=[/tex]，即[tex=9.429x1.286]Tx63rP87gO3mrR4X7yCZAdG2CWo2OHzyW/PzO4Trosg=[/tex]，所以[tex=3.714x1.286]S+W7QLYK0k0exduQBxTYNQ==[/tex]。
举一反三
- 设A是对角元素互不相等的n阶对角矩阵,证明：与A可交换的矩阵只能是对角矩阵.
- 证明：与任意的n阶矩阵可交换的矩阵必是n阶数量矩阵。
- 证明：与所有[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级矩阵可交换的矩阵一定是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级数量矩阵.
- 证明 : 与主对角元两两不同的对角矩阵可交换的矩阵也是对角矩阵.
- 下列命题错误的是 （ ） A: 若矩阵`\A`和`\B`可交换，则矩阵`\AB^10`与矩阵`\BA^10`也可交换 B: 若矩阵`\A-B`和`\A+B`矩阵可交换，则矩阵`\A`和`\B`也可交换。 C: 若矩阵`\A`和`\B`可交换，则`\A^T`和`\B^T`也可交换。 D: 若矩阵`\AB`和`\BA`可交换，则矩阵`\A`和`\B`也可交换。
内容
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已知矩阵，则与矩阵可交换的矩阵为（ ）。88ae88ebff4b64f3d01decf495e98d78.gif55967518e4b0ec35e2d51be0.gif
- 1
证明：数域[tex=0.857x1.0]eMszuSG5by5UfRZVROYp5A==[/tex]上与所有[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级可逆矩阵可交换的矩阵一定是[tex=0.643x0.786]SBMIs+VUk7//BOpfqlQl0w==[/tex]级数量矩阵.
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证明：若A和B都是n阶对称矩阵，则AB是对称矩阵的充要条件是A与B可交换。
- 3
证明：n阶矩阵A的任意多项式f(A)与g(A)可交换。
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求与矩阵 [tex=6.214x2.786]r+tiAx6ClSaeP7cZbqpjmcmXEyLu8X2oBz6ycBhNvN1s45rWS+3JtkGEN/7XzglBGX3QZMxKM2CBiVVpffo6Qg==[/tex][tex=3.0x1.286]R+/UbKfTDVWUYtJrM5HGTw==[/tex]可交换的所有矩阵。