设 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex], [tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex] 都在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续, 且在 [tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内可微, 又对于[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex] 内的 [tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex] 有 [tex=3.857x1.286]qn2AJfbmoLEE7Tl4Pd7PllGjDjTXiWMPwR865hJoScY=[/tex]，则在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex] 内至少存在一点[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使[tex=7.929x2.714]ao6sL/whefGaAsRSHCRhNiVXgLPr34z9bPcIDVLf6DMRHjGMXhoN6zhrAaTH3O84i7BBeG6R6i5gyw2pKK7+y/bCILss0MsxhUnAVzRFssI=[/tex]

2022-06-17

设 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex], [tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex] 都在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续, 且在 [tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内可微, 又对于[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex] 内的 [tex=0.571x1.286]XubEW9+1+hkJqH7jXe5MrA==[/tex] 有 [tex=3.857x1.286]qn2AJfbmoLEE7Tl4Pd7PllGjDjTXiWMPwR865hJoScY=[/tex]，则在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex] 内至少存在一点[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使[tex=7.929x2.714]ao6sL/whefGaAsRSHCRhNiVXgLPr34z9bPcIDVLf6DMRHjGMXhoN6zhrAaTH3O84i7BBeG6R6i5gyw2pKK7+y/bCILss0MsxhUnAVzRFssI=[/tex]

答案：

分析 所给问题也是考察函数的导数在区间内某点处值的问题，因此可以考虑利用微分中值定理。现将问题结论变形为[tex=14.357x1.429]Xat13OcrnAmVJUgSxqIRym3THVM9PSomIoX7xBb0Odai0XhNhA76NkJi9kCsbCWhpL+qiGJzKEbuHYzS25hJAQ==[/tex]，或 [tex=17.571x1.286]lzQv80ZLeUASAnm5Ehn9hQDR3TdYdgeNJ5lBqZijlANJwlnth93OOcB40sL2I8PRP+DkkA3sLdnZF8u8UCF1VCmS/iNhykZnc/9DK0+llYQ=[/tex]。若认为 [tex=19.286x1.286]y0+PbyKqUOEbLA7sArjM1WmTbJwBmc3iy0Ar6LyA46VYaDbC/NFLTP2QZW6J97bA9c3SoX95N5hkxegERJJTuuLLGTQbNCi2XvYaLYZngkU=[/tex]，则[tex=14.0x1.286]GCysWeGR/7lcMlmtfW/EOBetSfSSCV4naGi8/UpWzSmdRPlBYj2B69j9qqYQSQa+[/tex]。此时 [tex=7.071x1.286]yPc41Yzp11nwk8kZzVbRnbtYsjHHEQoSBe8uN2MI9aU=[/tex]。因此 [tex=2.071x1.286]QnT5Ukq2Ukk4CB2YYrq4eQ==[/tex]在 [tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex] 上满足罗尔定理。证 作辅助函数[tex=12.643x1.357]mbVmnc+wygZ7cHBzHfrXCdf1/LrVZLaA9V+Bxs37093jA1vhPw+0kRGSYD51NKUh[/tex]，则由已知条件知[tex=2.071x1.286]QnT5Ukq2Ukk4CB2YYrq4eQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上连续，在[tex=2.071x1.286]ObtC4nfyqFyi8RRxjLkdQA==[/tex]内可导，又由于[tex=5.857x1.357]f1drW7Ben5bvUX33SfMaRSHtPugIa78LgPPn+R1y410=[/tex]故 [tex=2.071x1.286]QnT5Ukq2Ukk4CB2YYrq4eQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]0UMnlwcnmtQAgoeNciVtQA==[/tex]上满足罗尔定理。因此，至少存在一点[tex=3.786x1.286]HB+co4ZQPA0IuJ4MiigGOwaKbwE7JFscVwRz/Jh/U1I=[/tex]，使 [tex=4.071x1.286]y0+PbyKqUOEbLA7sArjM1ZzFj5Bx/JDkfZbDMhETx0M=[/tex]， 即[tex=15.643x1.429]Xat13OcrnAmVJUgSxqIRypLfY/zOtW4HyrvsRQ7Yl2snTNqUstxRPZeTIFn5UrCbFp/gz9MHnbpaO+Qdw/tdlPjG0rkHTrxvT95L3m28rXw=[/tex]，或[tex=14.357x1.429]Xat13OcrnAmVJUgSxqIRym3THVM9PSomIoX7xBb0OdZ4nC/c18gxP1qVGq1s7rpiK9JMEWnQVDCFVk+lIjRSEs4fy55To+tGA1xoBmk1Nm8=[/tex]，由于 [tex=3.857x1.286]qn2AJfbmoLEE7Tl4Pd7PllGjDjTXiWMPwR865hJoScY=[/tex]， 可知 [tex=6.929x1.286]s7vZgBIGkDfmKgOmC+Un+7ejEujjkY2O/syGL+S3Zts=[/tex]，故有[tex=7.786x2.714]ao6sL/whefGaAsRSHCRhNiVXgLPr34z9bPcIDVLf6DMRHjGMXhoN6zhrAaTH3O84i7BBeG6R6i5gyw2pKK7+y5r4XaNgrkRlpbMyZ7U/it0=[/tex]。

举一反三

内容

0
设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]和[tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续，且[tex=4.929x1.286]xsiaWGd9YFsP34fxRlwlxtn/EsqoCCFrQJ1D5ZG+agY=[/tex]，[tex=4.714x1.286]7EnRp2L7gMyVlEGdnoQGDA==[/tex] . 试证：在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内至少存在一点[tex=0.5x1.286]m/VGGUpsnKNFGYXigdTc/A==[/tex]，使[tex=4.714x1.286]Okp8F8aIebhimp44oHT1Eg==[/tex] .
1
设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]和[tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex]都在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续，在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内可导，[tex=4.929x1.286]Dl0gIyof8XEDmWYL1n1JtA==[/tex]，且对所有[tex=3.857x1.286]xiJi7exny+S6OO8AToTvZJEy6s+q78Vh6oMiv4Z2CcE=[/tex]有[tex=5.5x1.286]2WRk5S3skabY8y+eAZX4bMCWoqnugRqu9hevAmLpNaVOJREWVg3eznJkSglGNBJB[/tex]，证明[tex=4.714x1.286]+lkPvCFyneSzjv8itrp9ig==[/tex] .
2
设 [tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex], [tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex]都在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]上连续, 在 [tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex] 内可导, 且 [tex=3.643x1.286]uaz8rXYVotCLmTHYJ56IbcmW7FmPkvjEmuqzGG1Ei0A=[/tex], [tex=8.286x1.286]5E/wDCX/QyKVyHRnGOzM927F2eS4xiJsy17iL44kfPg=[/tex]。试证至少存在一点 [tex=3.786x1.286]SbN3kpDDnb/P3zq8kyuo+NJnVohO3ICcnzxPaGrEl7c=[/tex]，使[tex=8.857x1.286]lzQv80ZLeUASAnm5Ehn9hcLgzV7lu74/df+COnq6Ajb0QLH7pa1UWzVcjt8TpdpLM+dmFBCP5V66Cm/Uw8M5AQ==[/tex]。
3
设[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]在[tex=1.929x1.286]vPlUmwL8t1REs9r1XOy2kg==[/tex]连续，且[tex=5.786x1.286]NCwsRgbPMeUgkEDxQRD8ZQ==[/tex]，证明：在[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内至少存在一点[tex=0.5x1.286]cFLrzlMvECfU5CTqcvierw==[/tex]，使得[tex=6.786x1.286]36KpimAx+1Av6w44iio0m2Fy+d6ipErpx0Qu03YI2ns=[/tex][tex=4.714x1.286]+XuHfNNSNMlA9kCS1BPNaqAiZW4OaBWqbbrE7MZHA94=[/tex]，其中[tex=0.571x1.286]QPadlhZ3vYN/Hi29gpTrFw==[/tex]，[tex=0.5x1.286]SIrTd7CGXw9GcBP//JIn6w==[/tex]为任意正常数。
4
指出命题是否正确，若有错误，错误何在？函数[tex=1.857x1.286]G6WxJ307HB2e1l7Qz3uNbQ==[/tex]、[tex=1.786x1.286]jg4bgzd+cKocBmeYxC3pQQ==[/tex]在区间[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内均可导，且[tex=5.0x1.286]BNu6dbE7GEUnOk/n4vJRjw==[/tex]，则在区间[tex=2.071x1.286]Q9EbYIIWqK0gqhJcCkS6lw==[/tex]内有[tex=5.5x1.286]2WRk5S3skabY8y+eAZX4bMCWoqnugRqu9hevAmLpNaVOJREWVg3eznJkSglGNBJB[/tex]。