设[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 是域 [tex=0.857x1.0]WBOxEEx6dPfNM3eGriw9WQ==[/tex]的代数扩域，且 [tex=0.857x1.0]WBOxEEx6dPfNM3eGriw9WQ==[/tex] 上每一多项式[tex=2.143x1.357]rByUrHVBTQB2C43DbY7ymQ==[/tex]在 [tex=0.857x1.0]WBOxEEx6dPfNM3eGriw9WQ==[/tex] 上的分裂域都是[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]的子域,证明: [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 是代数闭域.

2022-07-29

设[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 是域 [tex=0.857x1.0]WBOxEEx6dPfNM3eGriw9WQ==[/tex]的代数扩域，且 [tex=0.857x1.0]WBOxEEx6dPfNM3eGriw9WQ==[/tex] 上每一多项式[tex=2.143x1.357]rByUrHVBTQB2C43DbY7ymQ==[/tex]在 [tex=0.857x1.0]WBOxEEx6dPfNM3eGriw9WQ==[/tex] 上的分裂域都是[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]的子域,证明: [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 是代数闭域.

答案：

解 假设[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 不是代数闭域,那么 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 有真代数扩域 [tex=1.143x1.214]yvNUTptnstnyomvzOhPrrw==[/tex] 于是存在 [tex=4.786x1.214]gpKiVXj0EWJyu8j6YkZHeGFN9qIJLDKHZVWoYU7xA3I=[/tex]又[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 上的代数元，则可知 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex]是[tex=0.857x1.0]WBOxEEx6dPfNM3eGriw9WQ==[/tex] 上代数元. 由此可知, [tex=0.643x0.786]W9TCskxkagdDgWMvasdFzg==[/tex] 是 [tex=0.857x1.0]WBOxEEx6dPfNM3eGriw9WQ==[/tex]上多项式 [tex=3.929x1.357]lIjGPC4+Nr6brMwBRcp2JSXeAlgXw0fzPW2mT11sYnM=[/tex] 的一个根. 又根据题设 [tex=2.357x1.214]+ryN2gPw7PsowTX0MVVGqg==[/tex]则与[tex=2.071x1.071]eY8M8jISUX084cQL+BnqkRDh+INtF6wsK1AYE5hTa+c=[/tex] 出现矛盾. 因此 , [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]是代数闭域得证.

举一反三

内容

0
设[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]是域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]的有限扩张，证明[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]是完备域充分必要条件为 $[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]是完备域。
1
设[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]是域[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]的有限扩张，证明[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]中存在关于[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]的本原元素的充分必要条件是[tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]与[tex=0.643x1.0]0WA5oCO54gKWR/jKi5M2Zw==[/tex]间只有有限个中间域。
2
设 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 是特征数为 2 的素域,求出[tex=1.929x1.357]ZvK0aUQmCRkwWSUtHsIu+g==[/tex]的一切三次不可约多项式,其 [tex=1.929x1.357]ZvK0aUQmCRkwWSUtHsIu+g==[/tex] 是 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]上的一元多项式环.
3
令 [tex=1.429x1.214]PfhGUWr2cZYLhpTNbeKkNg==[/tex] 和 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 是三个域,并且 [tex=4.786x1.071]aV269WLMrsvZHUY1J34EMTwcJYNadrTkAddCQwzefMI=[/tex] 假定 [tex=3.857x1.357]de0U518GY8/7qQK3ZTzhRA==[/tex] 而 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex]的元 [tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex] 在 [tex=0.857x1.0]WBOxEEx6dPfNM3eGriw9WQ==[/tex]上的次数是[tex=0.929x1.0]4YXOg6rmHsFEwpxRSup8Rw==[/tex] 并且 [tex=4.286x1.357]THE4th9W3TKqLz/xdNPujA==[/tex]证明,[tex=0.643x0.786]hlJJ6/DUY+n2/FE6M2JdRA==[/tex] 在 [tex=0.5x1.0]3EF1VcotinZAjtQqtSWaxw==[/tex] 上的次数也是 [tex=0.929x0.786]lxK7J2TkjjIzWdTjZIk12Q==[/tex]
4
设 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 是 [tex=5.286x1.5]y4Hb6GyFtdEqS10qlDnlx0G27/MYG/2EFQH5A50dT2s=[/tex]在[tex=1.071x1.286]o47uln10KUnmSfJmS1m2kSpHLMLBfvRFmO/jeuKxjYc=[/tex] 上的分裂域. 证明 : [tex=1.857x1.357]QwcZRP/k6GQjt3RgosTUtg==[/tex]在 [tex=0.786x1.0]I/kNMtd8YcgkWCrgriW/hA==[/tex] 中的零点集关于加、减、乘、除 (除数不等于 0) 封闭.