确定常数a，使向量组α1＝(1，1，a)，α2＝(1，a，1)，α3一(a，1，1)可由向量组β1＝(1，1，a)。β2＝(－2，a，4)，β2＝(－2，a，a)线性表示，但向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示．
对矩阵作初等行变换有当a＝－2时显然α2不能由β1β2β3线性表示因此a≠－2；当a＝4时显然α2α3均不能由β1β2β3线性表示因此a≠4．而当a≠－2且a≠4时r(β1β2β3)＝3此时向量组α1α2α3可由向量组β1β2β3线性表示．又由题设向量组β1β2β3不能由向量组α1α2α3线性表示必有a－1＝0或2－a－a2＝0即a＝1或a＝－2．综上所述满足题设条件的只能是a＝1．[分析]向量组α1，α2，α3可由向量组β1，β2，β3线性表示，相当于方程组：αi＝x1β1，x2β2，x3β3，i＝1，2，3．均有解，问题转化为r(β1，β2，β3)＝r(β1，β2，β3)，i＝1，2，3是否均成立?这通过初等变换化阶梯形讨论即可．而向量组β1，β2，β3不能由向量组β1，β2，β3线性表示，相当于至少有一个向量β(j＝1，2，3)不能由α1，α2，α3线性表示，即至少有一方程组βi＝x1α1，x2α2，x3α3，j＝1，2，3，无解．[评注1]向量组β1，β2，β3不能由向量组α1，α2，α3线性表示，必有行列式｜[α1，α2，α3]｜＝0，由此也可确定a．[评注2]向量组能否线性表示的问题完全转化为线性方程组是否有解的问题．
举一反三
- 设向量组{α1，α2，α3}线性无关，向量组{β1，β2，β3}可由向量组{α1，α2，α3}线性表出，且β1=α1+4α2+α3，β2=2α1+α2-α3，β3=α1-3α3，则向量组{β1，β2，β3}线性______．
- 若向量β可由向量组α1、α2、α3线性表示，则向量组β、α1、α2、α3必（ ）
- 设向量组 可由向量组α1,α2,...αm线性表示,但不能由向量组,(I)α1,α2,...αm-1 线性表示,记向量组(II):α1,α2,...αm-1β则(b )
- 设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，则（ ）
- 设向量β可由向量组α1，α2，…，αs线性表出，但β不能由向量组α1，α2，…，αs-1线性表出．证明：秩（α1，α2，…，αs-1，αs）=秩（α1，α2，…，αs-1，β）．
内容
- 0
若向量组α1=(1，1，λ)T，α2=(1，λ，1)T，α3=(λ，1，1)T线性相关，则λ=_______．
- 1
诺向量β=（－1,1,k）可由向量α1=（1,0，－1），α2=（1，－2，－1）线性无关，则向量K=（） A: 0 B: 3 C: 1 D: 4
- 2
设n维向量组α1，α2，α3线性无关，则正确的结论是（）。 A: β1=α1-α2-α3，β2=α1+α2-α3，β3=-α1+α2+α3，向量组β1，β2，β3线性无关 B: β1=α1-α2+α3，β2=α2-α3，β3=α3-α1，向量组β1，β2，β3线性相关 C: β1=α1+α2，β2=α2-α3，β3=α3+α1，向量组β1，β2，β3线性无关 D: β1=α1-α2+α3，β2=-α1+α3，β3=-α1+2α2+α3，向量组β1，β2，β3线
- 3
设(1 2 3 ) ' 表示行向量（1 2 3 ）的转置。对于向量组A：a1=(1 2 0)＇,a2=(1 0 2) ', 下列哪个向量可以被向量组A线性表示？ A: （1 1 1)' B: (1 1 0)' C: (0 1 -1)' D: (1 0 1)'
- 4
设向量α1，α2，α2线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对任意常数k，必有______． A: α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关 B: α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关 C: α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关 D: α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关